Δευτέρα, 6 Δεκεμβρίου 2010

Μπαλέτο από τρίγωνα

Είναι πραγματικά συναρπαστικό... αλλά τι είναι ακριβώς αυτό που βλέπουμε; Τι μαθηματικά κρύβονται πίσω από αυτό;

Δευτέρα, 13 Σεπτεμβρίου 2010

Η "λογική" του Αριστοτέλη

Μία καινούρια λέξη που εμφανίζεται στα φετινά βιβλία της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου, είναι η λέξη "λογική".

Η "Λογική" ως κλάδος των Μαθηματικών, αναπτύχθηκε πολύ πρόσφατα, τα τέλη του 19ου αιώνα. Όμως, τα λογικά παράδοξα φαίνεται πως ήταν ένα από τα αγαπημένα θέματα της αρχαιότητας. Αλλά και οι "κοινές έννοιες" του Ευκλείδη, είναι αληθείς προτάσεις σε ένα αξιωματικό σύστημα.

Σήμερα αναγνωρίζουμε πως τα θεμέλια της λογικής τα έθεσε ο Αριστοτέλης, όπως αναφέρεται χαρακτηριστικά και στο κείμενο εδώ (σελ. 3 και εξής) από την Εστία Επιστημών Πάτρας.

Για να πάρουμε όμως μια γεύση της λογικής του Αριστοτέλη, θα δώσω τον λόγο στον ειδικό, τον συνάδελφο Βαγγέλη Σπηλιωτάκη. Σε σχόλιό του στο άρθρο μου "Ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας για τη γνώση" έγραψε ένα κείμενο, βαθύ και επιστημονικά τεκμηριωμένο, αλλά με τρόπο απλό, ώστε να γίνεται κατανοητό από όλους και κυρίως εμένα. Τον ευχαριστώ ιδιαίτερα και για το κείμενο, αλλά και για συγκατάθεσή του σ' αυτήν την δημοσίευση.

"....
Αναφορικά με τον Αριστοτέλη και την θεωρία του για την γνώση, τα τελευταία χρόνια οι περισσότεροι υποστηρίζουν ότι εντάσσεται στην παράδοση της ορθολογικότητας μάλλον παρά του εμπειρισμού.

Αυτό γιατί -όπως το καταλαβαίνω εγώ- ακολουθεί την παράδοση που θεωρεί ότι τα φαινόμενα έχουν αιτίες που δεν ανήκουν στον κόσμο των φαινομένων. Σωστά αναπτύσσει το θέμα της η μεταπτυχιακή που παραπέμπεις για τον τρόπο που σχηματίζονται οι γενικές έννοιες, με βάση την επανάληψη της ίδιας παράστασης ενός αντικειμένου και με την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν προϋπάρχουσες έννοιες στον νου όπως δέχεται ο Πλάτωνας .

Παράλληλα όμως θεωρεί ότι οι αιτίες των φαινομένων και οι αρχές της επιστήμης μας γίνονται οικείες και κατανοητές με τη λογική ανάλυση. Παράδειγμα ο ορισμός του συνεχούς: "συνεχές είναι το μέγεθος που μπορεί να διαιρείται σε πάντοτε διαιρετά μέρη" γιατί δεν αποτελείται από άτομα μέρη.

Για τούτο πολέμησε την ατομική θεωρία του Δημόκριτου γιατί δεχόταν την πεπερασμένη διαιρετότητα της ύλης μέχρι το άτομο.

Στον ορισμό αυτό κατέληξε όχι με βάση την κοινή εμπειρία για την πεπερασμένη διαιρετότητα της ύλης αφού κανείς μας δεν έχει εμπειρία άπειρης διαιρετότητας αλλά με βάση την λογική επεξεργασία των παραδόξων του Ζήνωνα για τα παράδοξα που θα προκύπτουν από την παραδοχή της πεπερασμένης διαιρετότητας των μεγεθών. Χρησιμοποιεί συνεχώς την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο για να καταλήξει στον ορισμό. Αυτά αναπτύσσονται στο βιβλίο Ε της φυσικής του που έχει σαν θέμα του μόνο την έννοια του συνεχούς.

Με λίγα λόγια αποδέχεται την άπειρη διαιρετότητα των μεγεθών και της ύλης γιατί εκεί τον οδηγεί η λογική ανάλυση αν και δεν έχουμε καμιά εμπειρία για αυτό.

Επίσης πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας ότι στον όρο εμπειρία ο Αριστοτέλη εντάσσει και την γνώση που αποκτούμε από την μελέτη άλλων θεωριών με την έννοια ότι δεν ξέραμε κάτι και το μάθαμε και από την επεξεργασία αυτής της γνώσης μπορούν να προκύπτουν νέα δεδομένα. Σε κάποιο χωρίο γράφει ότι άλλη εμπειρία του τριγώνου έχει αυτός που ξέρει ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι 180 μοίρες και άλλη αυτός που δεν το ξέρει. Θεωρεί δηλαδή ότι η προϋπάρχουσα γνώση επιδρά και διαμορφώνει ακόμα και αυτό που βλέπουμε γιατί στο αντικείμενο βλέπουμε και αυτά που ξέρουμε για το αντικείμενο.

Αυτά σκέφθηκα σαν μια πρώτη προσέγγιση σε ένα θέμα που απασχόλησε πολύ την αρχαία σκέψη και συνεπώς και την νεώτερη αφού μας γίνεται ολοένα και περισσότερο κατανοητό ότι οι καταστατικές αρχές του δυτικού πολιτισμού έχουν τεθεί εκεί. Αρκεί να σκεφτούμε από μαθηματικής σκοπιάς το ρόλο που έπαιξε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και η μέθοδος της εξάντλησης στην ανάπτυξη των μαθηματικών."

Σάββατο, 4 Σεπτεμβρίου 2010

25α γενέθλια για μια μπάλα ποδοσφαίρου από άνθρακα!

Περιεργαστείτε την επόμενη java εφαρμογή. Αναγνωρίζετε τα κανονικά εξάγωνα και πεντάγωνα; Είναι ακριβώς όπως στη μπάλα ποδοσφαίρου! Οι μαθηματικοί, σ' αυτήν τη δομή, αναγνωρίζουν ένα από τα 13 Αρχιμήδεια στερεά, το κόλουρο εικοσάεδρο.


Περιστροφή: Αριστερό κλικ και τράβηγμα με το ποντίκι
Αυξομείωση μεγέθους: Δεξί κλικ και τράβηγμα με το ποντίκι

Η εφαρμογή Java είναι από τον John N.Huffman (Chemrote)
Πηγή: http://jcrystal.com/steffenweber/POLYHEDRA/p_00.html



Κι όμως, αν η ωραιότατη αυτή μπάλα δεν είναι δερμάτινη, αλλά από άνθρακα, αποκτά άλλη αξία! Μάλιστα, το 1996 χάρισε το βραβείο Νόμπελ Χημείας στους Robert F. Curl, Harold W. Kroto και Richard E. Smalley. Αυτοί κατάφεραν να κατασκευάσουν το 1985 τεχνιτές κρυσταλλικές δομές άνθρακα, πολύ ισχυρές, τα "φουλερένια", όπως τα ονόμασαν προς τιμή του αρχιτέκτονα R. Buckminster Fuller, του σχεδιαστή των χαρακτηριστικών γεωδαισιακών θόλων. Ένα από τα φουλερένια λοιπόν, είναι και το κόλουρο εικοσάεδρο, ή καλύτερα το C60, μια και οι 60 κορυφές του είναι άτομα άνθρακα, ενώ οι ακμές του είναι οι δεσμοί (απλοί ή διπλοί) μεταξύ των ατόμων.

Τα φουλερένια διαφέρουν αρκετά από τις γνωστές κρυσταλλικές δομές άνθρακα στο διαμάντι και τον γραφίτη, κυρίως γιατί εμφανίζονται πενταγωνικοί, εξαγωνικοί και σπανιότερα επταγωνικοί δακτύλιοι μορίων άνθρακα, που ενωμένοι μεταξύ τους σχηματίζουν "μπάλες", τα "buckyballs", ή σωλήνες, τους "νανοσωλήνες". Διαβάστε το σχετικό κείμενο από το Ευγενίδειο Ίδρυμα εδώ.

Ο ενθουσιασμός της ανακάλυψης έδωσε τη θέση του στον ενθουσιασμό των πάρα πολλών εφαρμογών, ιδιαίτερα στο χώρο της νανοτεχνολογίας. Αλλά, αυτό που δεν περιμέναμε μας ήρθε "εξ ουρανού", όταν τον Ιούλιο του 2010 το διαστημικό τηλεσκόπιο υπέρυθρης ακτινοβολίας Spitzer έκανε και αυτό μια απρόσμενη ανακάλυψη: Τα Buckyballs υπάρχουν στο διάστημα - στη φύση! Ίσως οι ποσότητες να είναι απειροελάχιστες, αλλά επειδή λειτουργούν ως κάψουλες ισχυρής δομής που αιχμαλωτίζουν σωματίδια, όταν εντοπιστούν, μας παρέχουν σημαντικές πληροφορίες για το τι γίνεται στους διπλανούς κόσμους, αλλά και το τι συνέβη στον δικό μας κατά το παρελθόν. Δείτε το σχετικό βιντεάκι της NASA:



Για περισσότερη μελέτη:
1. Ευγενίδειο ίδρυμα, "Ένα άτομο πολλές δομές"
2. pfysics4u, "Backyballs από το εξωτερικό διάστημα"
3. NASA, "NASA Telescope Finds Elusive Buckyballs in Space for First Time"

Πέμπτη, 2 Σεπτεμβρίου 2010

Η ποδηλασία, καθαρά μαθηματική υπόθεση


Ο τίτλος, είναι μάλλον υπερβολικός, αφού και οι δεκάχρονοι πιτσιρικάδες, που ίσως δεν ξέρουν πολλά μαθηματικά, τα καταφέρνουν τέλεια στην ποδηλασία!

Όμως, οι επιστήμονες από τρία διαφορετικά Πανεπιστήμια συνεργάστηκαν για να κατανοήσουν το πώς επιτυγχάνεται η ισορροπία ενός ποδηλάτη, ένα πρόβλημα που απασχόλησε την επιστημονική κοινότητα από τη δεκαετία του 1860, όταν για πρώτη φορά εφευρέθηκε το ποδήλατο.

Ο καθηγητής Arend Schwab του ολλανδικού Πανεπιστημίου Ντελφτ είπε χαρακτηριστικά ότι "πάνω από 100 χρόνια οι άνθρωποι προσπαθούσαν να καταλάβουν γιατί ένα ποδήλατο με δύο τροχούς ισορροπεί μόνο του για λίγο, όταν του δωθεί μια αρχική ώθηση".

Τελικά, κατάφεραν να βρουν τον ποθούμενο μαθηματικό τύπο: ...μόνο 31 αριθμοί και σύμβολα και 9 παρενθέσεις! Ιδού:
Ο τύπος περιλαμβάνει διάφορα μεγέθη όπως την αδράνεια, την φυγόκεντρο δύναμη, την κλίση του ποδηλάτη, την στροφορμή κ.ά.

Η ανακάλυψη υπόσχεται πως θα βοηθήσει στην κατασκευή ακόμα πιο σταθερών ποδηλάτων, γεγονός που ελπίζουμε να χαροποιήσει όλους τους ποδηλάτες!

Προσωπικά, θαυμάζω την ικανότητα του εγκεφάλου μας, που όχι μόνο εναρμονίζει όλα αυτά τα μεγέθη, χωρίς να το παίρνουμε χαμπάρι, αλλά και μας εξασφαλίζει την δεξιότητα να ισορροπούμε στο ποδήλατο για μια ζωή, κατά το γνωστό "το (να κάνεις) ποδήλατο δεν ξεχνιέται ποτέ"!

Πηγές:
1. Το Βήμα, Μαθηματική φόρμουλα εξηγεί πώς καταφέρνουμε να κάνουμε ποδήλατο
2. Mathematical formula explains riding a bike

Δευτέρα, 12 Ιουλίου 2010

Εστία Επιστημών Πάτρας, Εστία Γνώσης Χαλκίδας

Πρόσφατα είχα την χαρά να επισκεφτώ την Εστία Επιστημών Πάτρας και να θυμηθώ πόσο ωραίο είναι να περιεργάζεσαι, να ανακαλύπτεις, να μαθαίνεις παίζοντας, να γίνεσαι και πάλι παιδί. Μια εμπειρία που θα ήθελα να την ζήσω και πάλι και που σας την προτείνω ανεπιφύλακτα.

Όμως, φροντίστε να μην πάτε μόνοι σας. Βρείτε μια καλή παρέα για να κουβεντιάζετε και να ανταλλάζετε απόψεις. Εγώ είχα την Πόπη!!!

Προς το παρόν, επισκεφτείτε την ιντερνετικά:
Εστία Επιστημών Πάτρας
Εστία Γνώσης Χαλκίδας

Ακούστε και την γνώμη των μαθητών στο ακόλουθο βιντεάκι


FreeVideoCoding.com

Κυριακή, 13 Ιουνίου 2010

Ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας για τη γνώση

Είναι πραγματικά συγκλονιστικό το απόσπασμα "της αλληγορίας του Σπηλαίου" από την "Πολιτεία" του Πλάτωνα. Οι άνθρωποι εκεί, γνωρίζουν μονάχα τις σκιές των αντικειμένων και όχι τα ίδια τα αντικείμενα. Ουσιαστικά, η αλήθεια τους είναι η ψευδαίσθηση που έχουν δημιουργήσει με τις περιορισμένες αισθήσεις τους. Πώς θα αντιδρούσε κάποιος αν ξαφνικά απελευθερωνόταν από τα δεσμά του και μπορούσε να αντικρύσει κατάματα τον κόσμο στις πραγματικές του διαστάσεις; Δεν θα ένιωθε χαρά, ευγνωμοσύνη, αλλά και χρέος να διαφωτίσει τους ανθρώπους της σπηλιάς ακόμα και αν εκείνοι τον απορρίψουν ή στραφούν εναντίον του;

Αυτή η ωραία ιστορία, εκτυλίσσεται στο παρακάτω βιντεάκι.



Ο Πλάτωνας, με την "αλληγορία του Σπηλαίου", αφενός θέλησε να υποδείξει πως η αλήθεια μπορεί να υπερβαίνει το φαινόμενο και το αισθητό και αφετέρου να τονίσει τον ύψιστο σκοπό ενός διαφωτιστή, να θυσιάσει ακόμα και την ζωή του προκειμένου να εκπληρώσει το διαφωτιστικό του έργο.

Θα ήθελα όμως να εστιάσω στο πώς ο διαφωτιστής έγινε μέτοχος της "αλήθειας". Στην πραγματικότητα, δεν ακολούθησε διαφορετική διαδικασία μάθησης πριν και μετά την απελευθέρωσή του.  Με τις αισθήσεις του πλανεύτηκε, αλλά και με τις αισθήσεις του πληροφορήθηκε για την "αντικειμενική αλήθεια" του περιβάλλοντος κόσμου. Αυτό που άλλαξε, ήταν η οπτική του και η θέση του. Επομένως, αν θελήσει να μυήσει επιτυχώς και τους άλλους δεσμώτες στην "αντικειμενική αλήθεια" θα πρέπει να τροφοδοτήσει την εμπειρία τους με την "άλλη οπτική" του "πραγματικού κόσμου", τραβώντας τους έξω από την σπηλιά. Αλλιώς ποιο το νόημα μιας τέτοιας διδασκαλίας;

Ο Αριστοτέλης, έρχεται να τονίσει, όχι τόσο το τι είναι αληθές, αλλά το πώς μέσα από τις εμπειρίες μας δομούμε την γνώση μας. Συνεπώς, αυτά τα δύο δεν είναι ανεξάρτητα. Κατά τον Αριστοτέλη, "Η επίδραση της αίσθησης δημιουργεί αισθητές εικόνες, οι οποίες με τη σειρά τους προκαλούν την ενεργοποίηση του πνεύματος και τη δημιουργία εννοιών. Η απόκτηση της γνώσης, παρουσιάζεται ως μια συνολική διαδικασία την οποία θα αποκαλούσαμε νοητική διαδικασία, όπου γίνεται κατανοητή από την ανάλυση της σημασίας του ορισμού της ψυχής και η οποία, έτσι όπως αναπτύσσεται, έχει ως αφετηρία τη γέννηση μέσα στη συνείδηση αισθητών αναπαραστάσεων και συμβαδίζει με τη νόηση, από την οποία εμφανίζονται οι νοητικές αναπαραστάσεις ή έννοιες." (από την περίληψη της "Εμπειρίας και γνώσης στον Αριστοτέλη" της Ζαρβαδά Κυριακής)

Οι σύγχρονες θεωρίες μάθησης, φαίνεται να κατανοούν όλο και περισσότερο την αξία της εμπειρίας για την γνώση. Αλλά και οι θετικές επιστήμες, βασίζουν τις θεωρίες τους σε αντικειμενικές παρατηρήσεις και λογικές διαδικασίες. Και όμως, η "αντικειμενική αλήθεια" μοιάζει με άπιαστο στόχο. Έτσι, μέχρι χθες, τόσο για τον απελευθερωμένο δεσμώτη της σπηλιάς, όσο και για εμάς, ο Ήλιος ήταν ένας αψεγάδιαστος φωτεινός δίσκος, αθάνατος, με δύναμη θεότητας. Σήμερα γνωρίζουμε τις "ατέλειές" του, την πηγή της δύναμής του, το πεπερασμένο του. Αύριο, θα ξέρουμε πολύ περισσότερα και η γνώση μας θα εκτίνεται στον χώρο και τον χρόνο.

Όσο όμως εμβαθύνουμε, τόσο τα ερωτηματικά αυξάνουν. Έτσι, το τίμημα της φυσικής μας περιέργειας είναι το "εν οίδα ότι ουδέν οίδα" του Σωκράτη... Ίσως λοιπόν σήμερα να μοιάζουμε με τους δεσμώτες στην σπηλιά του Πλάτωνα, με τη διαφορά ότι έχουμε κάνει μια σημαντική πρόοδο: γνωρίζουμε την άγνοιά μας.

Πηγές:
1) Αρχαία ελληνικά κείμενα: Η σπηλιά του Πλάτωνα http://arxaiakeimena.blogspot.com/2009/03/blog-post_17.html
2) Εμπειρία και γνώση στον Αριστοτέλη: http://invenio.lib.auth.gr/record/113671

Σάββατο, 12 Ιουνίου 2010

Τα σχέδια ζωντανεύουν

Δείτε το "1D Nove mesi con Cabri", όπου προβάλλονται πολύ όμορφες δημιουργίες της Maria Carla Parmeri, με το λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Cabri.



Πηγή: http://www.youtube.com/user/MariaCarlaPalmeri#p/u

Δευτέρα, 5 Απριλίου 2010

Ένας ζογκλέρ παίζει με τις μαθηματικές επιφάνειες

Ο Greg Kennedy, είναι ο ζογκλέρ που προβάλλεται στα επόμενα βιντεάκια. Όπως φαίνεται, έχει ιδιαίτερη αγάπη στις μαθηματικές επιφάνειες. Καθώς ρίπτει επάνω τους τις μπάλες του, αυτές εξαναγκάζονται να διαγράψουν μαθηματικές τροχιές, χαρίζοντάς μας ένα μαγευτικό θέαμα.

1. Εδώ απολαύστε τον να βρίσκεται στο εσωτερικό μιας κωνικής επιφάνειας και να στέλνει τις μπάλες του σε ελλειπτικές και κυκλικές τροχιές.



2. Εδώ οι μπάλες του χτυπούν τις πλευρές μιας δίεδρης γωνίας.



3. Εδώ οι μπάλες του διαγράφουν κύκλους και τόξα στο εσωτερικό ενός μεγάλου ημισφαίριου, το οποίο προβάλλεται ψηλά με κάτοπτρο.



Πηγή: The beauty of juggling http://xahlee.org/vofli_bolci/conics.html

Σάββατο, 13 Μαρτίου 2010

Ζωγραφική με αριθμούς

Από παλιά, είχε πέσει στην αντίληψή μου η σχέση των μαθηματικών με την τέχνη και ειδικότερα την οπτική τέχνη (op art), όπου γραφικές απεικονίσεις μαθηματικών καμπυλών δημιουργούν εντυπωσιακά σχέδια.

Όμως δεν έχει περάσει μια βδομάδα από τότε που μια συνάδελφος, η Ελένη, μου χάρισε μια θαυμάσια ζωγραφιά, την οποία σκάναρα για να απολαύσετε κι εσείς. Πρόκειται, όπως πληροφορήθηκα, για έργο του Γιάννη Παλαμά, επίσης Μαθηματικού. Το ιδιαίτερο σ' αυτήν την ζωγραφιά είναι ότι οι γραμμές που την συνθέτουν είναι αποκλειστικά αριθμητικά ψηφία. Ενώ το μάτι μας συλλαμβάνει δύο πρόσωπα και μια πεταλούδα, με μεγαλύτερη προσοχή διαπιστώνουμε ότι η πεταλούδα έχει οχτάρια, τριάρια, τεσσάρι, άσσο, τα μαλλιά ότι είναι εξάρια κ.ο.κ. Η ιδέα είναι πραγματικά εντυπωσιακή και τουλάχιστον για μένα, πρωτόγνωρη!

Αναζήτησα και άλλα, παρόμοια έργα στο διαδίκτυο, για να διαπιστώσω πόσο σπάνιο είναι αυτό το είδος. Παραθέτω ένα έργο του Ben Heine όπου απεικονίζεται ο Αϊνστάιν, σχεδιασμένος με αριθμούς και την εξίσωσή του E=mc2.


Θα κλείσω με τα λόγια της Ελένης: Όταν δείχνω στους μαθητές μου αυτά τα έργα, αμέσως εντυπωσιάζονται και αυξάνει το ενδιαφέρον τους για τους αριθμούς και τα Μαθηματικά...

Ελένη και Γιάννη, σας ευχαριστώ και τους δυο ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ!

Δευτέρα, 8 Μαρτίου 2010

Πεντόμινα!

Όλοι γνωρίζουμε το ντόμινο. Το πλακάκι με τα δύο τετράγωνα.
Με την παρακάτω εφαρμογή μπορείτε να μελετήσετε τα πεντόμινα, πλακάκια με 5 τετράγωνα. Μάθετε πόσα είναι, τι συμμετρίες παρουσιάζουν πώς (και αν) πλακοστρώνουν το επίπεδο, ασχοληθείτε με ενδιαφέρουσες σπαζοκεφαλιές.

(Aν δεν φορτώνει η παρακάτω εφαρμογή, τότε πατήστε εδώ. Θα χρειαστείτε τον Adobe Flash Player.)
Πηγή: http://www.ngfl-cymru.org.uk/eng/pentominoes_-_ks2


Κυριακή, 7 Μαρτίου 2010

Κόλπα πολλαπλασιασμών...

Δείτε το ακόλουθο βίντεο. Προβάλεται ένας πρωτότυπος τρόπος πολλαπλασιασμού αριθμών με γραμμές.



Και εδώ παρακολουθήστε ένα κόλπο για να "παίζετε στα δάκτυλά σας" την προπαίδεια του 9.