Τετάρτη, 16 Νοεμβρίου 2011

Μετρήστε καλά: 12 ή 13 πολεμιστές;

Ο Sam Loyd (1841-1911) υπήρξε ένας από τους δημοφιλέστερους εμπνευστές προβλημάτων και αινιγμάτων στην ιστορία των Ηνωμένων Πολιτειών.
Παρακάτω, είναι ίσως η πιο διάσημη γεωμετρική σπαζοκεφαλιά που ποτέ επινοήθηκε. Το "Get Off the Earth": Μετρήστε τους πολεμιστές, πριν και μετά το "κλικ" στην Γη. Πόσοι είναι;


Πηγές: 
1. Alex Bellos, Puzzles, "Get Off the Earth"
2. Sam Loyd Official Site, "Get Off the Earth"
3. MAA, Math Games: "The Sam Loyd Cyclopedea of Puzzles"

Πέμπτη, 20 Οκτωβρίου 2011

Μέτρηση επιφάνειας με... σουγιά

Από νωρίς οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν το εμβαδόν απλών γεωμετρικών σχημάτων, όπως παραλληλογράμμων, τραπεζίων, κύκλων. Το πέρασμα από τα πολύγωνα στον κύκλο φαίνεται δυσκολούτσικο, όμως αξίζει τον κόπο, καθώς η μαθηματική ιδέα της "εξάντλησης" που υποβόσκει, αποτελεί τη βάση για την έννοια του ολοκληρώματος και τον υπολογισμό του εμβαδού αρκετά πολύπλοκων σχημάτων.

Δυστυχώς, ο πραγματικός κόσμος περιλαμβάνει ακόμα πιο πολύπλοκα σχήματα από αυτά που μελετάμε στη Γεωμετρία ή την Ανάλυση του Λυκείου. Τότε, τι γίνεται με τις μετρήσεις; Την επιφάνεια μιας λίμνης την προσεγγίζουμε με άπειρα τετραγωνάκια ή μήπως κάπως αλλιώς;

Δείτε το ακόλουθο βίντεο: Προβάλει ένα επιπεδόμετρο (planimeter), ειδικό όργανο για τη μέτρηση επιφάνειας. Παρατηρήστε ότι καθώς η βελόνα του κινείται περιμετρικά στο σχήμα, ο κυκλικός μετρητής επιφάνειας αλλάζει φορά, για να αφαιρέσει το επιπλέον εμβαδόν. Ίσως να μας παραπλανά αυτή η λειτουργία και να σχηματίζουμε την εντύπωση ότι το όργανο υπολογίζει την εξίσωση της καμπύλης (περίγραμμα σχήματος) και έπειτα το ολοκλήρωμά της. Όμως, ως ένας απλός χειροκίνητος μηχανισμός από βραχίονες και γρανάζια, δεν κάνει υπολογισμούς! Στηρίζεται μονάχα στη Μηχανική και τη Γεωμετρία.


Τετάρτη, 19 Οκτωβρίου 2011

Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική στην Τεχνολογία

Ίσως για πολλούς η χαρτοδιπλωτική είναι παιδική ασχολία, ή στην καλύτερη περίπτωση ένα δημιουργικό καλλιτεχνικό χόμπι.

Όμως, όπως αναφέρει ο Dr. Robert Lang στο παρακάτω βίντεο, τα Μαθηματικά που κρύβει η χαρτοδιπλωτική είναι πολύτιμα για την Τεχνολογία. Ο κλάδος αυτός καλείται "Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική" και αντικείμενό του είναι η συρρίκνωση του όγκου κάποιων κατασκευών, όπως ο αερόσακος στο αυτοκίνητο, το κάτοπτρο ενός τηλεσκοπίου, ένα ενέσιμο εμφύτευμα που θα πρέπει να απλωθεί στον οργανισμό μετά την είσοδό του, σώζοντας έτσι ζωές! Η ιδέα της εξοικονόμησης του χώρου μέσω της "Υπολογιστικής Χαρτοδιπλωτικής" εκτείνεται και στην νανοτεχνολογία: επιστήμονας στο Carltech ασχολείται με νανοδιπλώσεις, χρησιμοποιώντας DNA.



Σε κάποια άλλη ομιλία του, στο "Wired Science", ο Dr. Lang αναφέρει το εξής εντυπωσιακό, που αποδίδει την δυσκολία αυτών των κατασκευών: "Υπάρχει μια επιστήμη που μετράει τη δυσκολία και πολυπλοκότητα ενός προβλήματος, κατατάσσει την χαρτοδιπλωτική στα "NP complete" προβλήματα, δηλαδή τα πολύ-πολύ δύσκολα":

There is a study of complexity in math that rates the difficulty of certain problem.  Some problems are polynomial time, which is another way of saying "not too hard" and there are problems called NP complete, which are very-very hard! And both, packing laguage and folding up an origami crease patern, are NP complete problems; very-very hard!

Πηγή: Robert Lang folds way-new origami (TED ideas worth spreading)
Wired Science: Origami Master

Ποιο είναι το σχήμα ενός τροχού;

Μη βιαστείτε να απαντήσετε σ' αυτήν την ερώτηση! Δείτε προσεκτικά την εικόνα παρακάτω. Οι τροχοί δεν είναι καθόλου κυκλικοί! Φυσικά αναρωτιέστε: "αυτό το ποδήλατο κινείται ομαλά στο οδόστρωμα, ή μήπως όχι;"
Το "κλειδί" είναι τα περίεργα σχήματα των τροχών. Τι ιδιότητες έχουν; Πολύ απλά, είναι σχήματα σταθερού πλάτους. Ειδικότερα, τα εικονιζόμενα ονομάζονται πολύγωνα Ρελώ (Reuleaux). Δείτε πόσο όμορφα κυλάει το τρίγωνο Ρελώ:



Please install Java (version 1.4 or later) to use JavaSketchpad applets.


Οι εφαρμογές των σχημάτων σταθερού πλάτους είναι πολλές στη Μηχανική. Στη δεύτερη πηγή που παραθέτουμε, υπάρχουν μερικές ενδεικτικές.

Πηγές:
1. Reuleaux Triangle, Wilstler Alley Mathematics
2. How round is your circle? Applications of shapes of constant width
3. multi-angle-wheel bicycly, china.org.cn
4. Πούλος Ανδρέας, Εφαρμογές της Γεωμετρίας στην Τεχνολογία και την καθημερινή ζωή

Τετάρτη, 5 Οκτωβρίου 2011

Τα Μαθηματικά στον Κινηματογράφο

Μια πολύ ενδιαφέρουσα σελίδα στον ιστότοπο του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ έχει θεματική τα Μαθηματικά στον Κινηματογράφο. Πρωταγωνιστές, όχι μόνο οι Μαθηματικοί Επιστήμονες, αλλά και τα ίδια τα Μαθηματικά. Παραθέτω δύο φιλμάκια:

Το πρώτο, από την γνωστή "Επιπεδοχώρα" (Flatland), απόδοση σε κινούμενα σχέδια της ομώνυμης νουβέλας του Edwin Abbott Abbott, 1884. Στο απόσπασμα παρακολουθούμε τον επαγωγικό λογισμό του τετραγώνου: "Εφόσον οι δυνάμεις των αριθμών μπορούν να μεταφραστούν σε διαστάσεις, τότε, ίσως να υπάρχει και η 4η διάσταση...".

Ο προβληματισμός έντονος για μια πραγματικότητα γύρω μας που οι αισθήσεις μας αδυνατούν να συλλάβουν. Μια άλλη εκδοχή της "αλληγορίας του σπηλαίου" του Πλάτωνα.


Η δεύτερη ταινία είναι χιουμοριστική, ένας ποδοσφαιρικός αγώνας Ελλάδας - Γερμανίας με ξεχωριστούς παίκτες!


Πηγή: http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/

Πέμπτη, 22 Σεπτεμβρίου 2011

Εκπλήξεις... πιθανοθεωρητικές!!!


Ας υποθέσουμε ότι σάς προσκάλεσαν σε τηλεοπτικό σόου να παίξετε το εξής παιχνίδι: Σας δείχνουν τρεις κλειστές πόρτες και σας λένε πως μία από αυτές κρύβει πίσω της ένα αυτοκίνητο, ενώ οι άλλες δύο μία κατσικούλα. Σάς δίνουν λοιπόν την ευκαιρία να επιλέξετε μία από τις τρεις πόρτες και αν πετύχετε αυτήν με το αυτοκίνητο, σας το χαρίζουν! Καταπληκτικό, έχετε πιθανότητα 1/3 να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο!

Όμως ο παρουσιαστής σάς θέτει το εξής δίλημμα: Ενώ εσείς διαλέξατε μία πόρτα, δεν την ανοίγει, αλλά ανοίγει μία από τις άλλες δύο που έχει κατσικούλα και σας ζητά να ξανασκεφτείτε την εκλογή σας: Θα επιμείνετε στην αρχική σας θέση, ή όχι; Ή καλύτερα να ρωτήσουμε: θα επηρεαστεί η πιθανότητα επιτυχίας (το 1/3) εάν αλλάξετε επιλογή, ή όχι;

Σάββατο, 20 Αυγούστου 2011

Η μελωδία των μαθηματικών

Θα θέλατε να μάθετε ποια μουσική παράγουν τα ψηφία του αριθμού π; Ή ποια είναι η μουσική μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης; Δεν έχετε παρά να επισκεφθείτε την ιστοσελίδα "The Sound of Mathematics" του ReoCities.

Όπως πληροφορορεί ο ίδιος ο συγγραφέας Daniel Cummerow, η μουσική βασίζεται τόσο στα Μαθηματικά, όσο και στις ανθρώπινες προτιμήσεις. Δείτε για παράδειγμα, πόσο μελωδικός είναι ο αριθμός π, κάνοντας κλικ εδώ.

Άθελά μου, παραλληλίζω αυτό το έργο με την σύλληψη του Πυθαγόρα να αναζητήσει μαθηματικές σχέσεις σε εναρμόνιους ήχους, αλλά και αντίστροφα, να εντοπίζει αρμονία και μελωδία σε ορισμένους λόγους αριθμών. Για τους Πυθαγόρειους ήταν τόσο στενή η σχέση αριθμών και μουσικής που το θεωρούσαν προφανές οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών να έχουν αρμονικούς λόγους, παράγοντας έτσι στο σύνολό τους μια μελωδία, την "μουσική των σφαιρών". Την ιδέα τους υιοθέτησαν ο Πλάτωνας και ο Κέπλερ για το κοσμικό τους μοντέλο. Ακόμα και η NASA δεν έμεινε ανεπηρέαστη, όπως μπορείτε να δείτε εδώ, καθώς και πολλοί άλλοι..


Πηγές:
The Sound of Mathematics, ReoCities
Pythagoras & Music of the Spheres (Geometry in Art & Architecture, Dartmouth College)
Music of the Spheres, University of California Observatories

Τρίτη, 16 Αυγούστου 2011

Από το παιχνίδι της ζωής του Conway σε ένα νέο είδος μουσικής

Σαν τι θα μπορούσε να είναι αυτό το "παιχνίδι της ζωής"; Πρόκειται για έμπνευση του John Conway, μαθηματικού στο Cambridge University και αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα για το πώς δημιουργείται ένα χαοτικό φαινόμενο, με απρόβλεπτη εξέλιξη, που όμως βασίζεται σε λίγους, πολύ απλούς κανόνες.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα επίπεδο, χωρισμένο σε τετράγωνα, όπου άλλα κελιά είναι "ζωντανά", ενώ άλλα είναι κενά-χωρίς ζωή. Έτσι έχουμε μια εικόνα όπως παρακάτω, με τα μαύρα κελιά να αντιπροσωπεύουν τα "ζωντανά" κελιά.
Όπως βλέπετε, κάθε κελί γειτονεύει με ακριβώς άλλα 8, τα οποία είτε είναι άδεια, είτε είναι "ζωντανά". Ας βάλουμε τώρα λίγους, απλούς κανόνες που καθορίζουν το πότε γεννιέται ένα νέο μέλος (στα άδεια τετράγωνα) ή πότε πεθαίνει κάποιο ζωντανό:
  1. Κάθε ζωντανό κελί με έναν ή κανέναν ζωντανό γείτονα θα πεθαίνει στην επόμενη γενεά, ως απομονωμένο.
  2. Κάθε ζωντανό κελί με δύο ή τρεις ζωντανούς γείτονες θα παραμένει ζωντανό και στην επόμενη γενεά.
  3. Κάθε ζωντανό κελί με περισσότερους από τρεις γείτονες θα πεθαίνει στην επόμενη γενεά, λόγω ανταγωνισμού-υπερπληθυσμού.
  4. Αν υπάρχει ένα κενό κελί με ακριβώς τρεις γείτονες τότε στην επόμενη γενεά θα γεννιέται εκεί ένα νέο μέλος.
Αν και λίγοι οι κανόνες, είναι συνήθως πολύ δύσκολο να προβλέψει κανείς την τύχη ενός πληθυσμού, αν θα αυξηθεί ή αν τελικά εξαλειφθεί. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι πληθυσμοί που παρουσιάζουν σταθερότητα ή περιοδικότητα. Παρακάτω βλέπετε έναν περιοδικό πληθυσμό. Μπορείτε να αναζητήσετε και άλλους, αν πειραματιστείτε με την java εφαρμογή εδώ, αλλά και να "πειράξετε" την εκπληκτική τους ισορροπία, προσθέτοντας ή αφαιρώντας έστω και ένα ζωντανό κελί.
Το παιχνίδι αυτό απέδειξε τη διαχρονική του αξία, καθώς αποτέλεσε την απαρχή για τα λεγόμενα cellular automata, υπολογιστικά μοντέλα που μελετώνται από πολλές επιστήμες, όπως φυσική, χημεία, βιολογία. Δείτε εδώ μερικά "ζωντανά".

Αυτό όμως που δεν μπορούσαμε να φανταστούμε ήταν η συμβολή τους σε ένα νέο είδος ηλεκτρονικής μουσικής.  Πολλές εφαρμογές, όπως το WolframTones ή το Otomata, μάς δίνουν την ευκαιρία να συνθέσουμε την δική μας μουσική. Τα cellular automata λοιπόν, μας χαρίζουν θέαμα, ήχο, δημιουργικότητα!


Πηγές:
1. John Conway's Came of Life http://www.bitstorm.org/gameoflife/
2. Martin Gardner, The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game "life", Scientific American 223 (October 1970): 120-123.
3. WolframTones  http://tones.wolfram.com/
4. Broadcasting International Television http://britv.com/tag/cellular-automata/


Κυριακή, 14 Αυγούστου 2011

Μεταλλαγμένα προϊόντα: μια μαθηματική αποκάλυψη


Πολύς ο λόγος για τα μεταλλαγμένα προϊόντα. Δημιουργήματα της Γενετικής, με αρκετούς οπαδούς - κυρίως εταιρείες τροφίμων - που υποστηρίζουν ότι αποτελούν την λύση στη μείωση των φυτοφαρμάκων και στην ολοένα αυξανόμενη ανάγκη για τρόφιμα.

Όμως, κανένας λογικά σκεπτόμενος δεν μπορεί να τα αποδεχθεί, πριν πειστεί ότι θα είναι ασφαλή για τον εαυτό του, αλλά και για την εξέλιξη της ζωής στη Γη. Γιατί αν ο προορισμός τους είναι να "δίνουν ζωή", αυτό θα πρέπει να έχει βάθος χρόνου και να μην σταματά στο "τώρα", πολύ μάλλον, να μην δρουν καταστροφικά στο μέλλον.

Η επιστήμη λοιπόν θα δώσει τις απαντήσεις που χρειάζεται η ανθρωπότητα. Προς αυτήν την κατεύθυνση εργάστηκαν και οι βιολόγοι William M.Muir του Perdue University και Richard D. Howard του University of Michigan: Χρησιμοποίησαν το μικροσκοπικό ψάρι oryzias latipes που έχει μικρό κύκλο αναπαραγωγής για να μελετήσουν το μοντέλο εξέλιξης ενός ανάμικτου πληθυσμού γενετικά μεταλλαγμένων ψαριών και φυσικών. Το μαθηματικό μοντέλο προέβλεψε κάτι εντελώς ασύλληπτο: ακόμα και όταν τα μεταλλαγμένα ψάρια αποτελούσαν ένα μικρό μέρος του συνολικού πληθυσμού, τελικά θα εξαλείφονταν και οι δύο πληθυσμοί!

Σάββατο, 6 Αυγούστου 2011

Η εξέλιξη του τροχού και η δημιουργία νέων μορφών ζωής

Κανείς δεν αμφισβητεί την τεράστια σημασία της ανακάλυψης του τροχού. Εδώ και 5000 χρόνια θεωρείται μία από τις κορυφαίες.

Όμως, ο Ολλανδός κινητικός γλύπτης Theo Jansen έχει να αντιπροτείνει κάτι πιο πρακτικό από τον τροχό για την κίνηση σε δύσβατα σημεία, όπως σε μια παραλία. Κάτι, που μιμείται το περπάτημα. Στο επόμενο βίντεο αναπαριστάνεται ο μηχανισμός του, με το λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας The Geometer's Sketchpad. Αρχικά, εμφανίζεται ένα μπροστινό και ένα πίσω πόδι. Όταν προστεθεί μία ακόμα σειρά από μπροστινό και πίσω πόδι, το "τετράποδο" ευσταθεί, καθώς κάθε φορά στηρίζεται σε δύο πόδια. Έτσι πραγματικά κινείται!


Αυτό όμως ήταν μόνο η αρχή για να γεννηθούν νέες μορφές ζωής. Όντα, που όχι μόνο κινούνται, αλλά αισθάνονται, αναπαράγονται, έχουν το αίσθημα της αυτοσυντήρησης, κάνουν απλούς συλλογισμούς και ζουν με... αέρα! Απολαύστε τα!


Δευτέρα, 1 Αυγούστου 2011

Στερεά εκ περιστροφής και αγγειοπλαστική

Surface of revolution illustration
Rotationskoerper animation

Ένα ενδιαφέρον θέμα της στερεομετρίας είναι τα στερεά εκ περιστροφής: Παίρνουμε μια επίπεδη καμπύλη και την περιστρέφουμε κατά 360ο γύρω από έναν άξονα (ευθεία) που βρίσκεται στο επίπεδό της. Το αποτέλεσμα, όπως βλέπετε στα σχέδια, είναι ένα στερεό που η τομή του με ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής είναι κύκλος. Με άλλα λόγια, το στερεό αποτελείται από άπειρους κύκλους, διαφόρων μεγεθών, στιβαγμένους ο ένας πάνω στον άλλον, έτσι ώστε τα κέντρα τους να είναι σε άξονα κάθετο του επιπέδου τους.

Ο τρόπος δημιουργίας τους που μαρτυρείται από  το όνομά τους, δηλαδή με περιστροφή, θυμίζει πάρα πολύ τον τρόπο που οι αγγειοπλάστες κατασκευάζουν τα αγγεία τους. Ο πηλός περιστρέφεται επάνω στον τροχό. Καθώς δέχεται συμμετρικά πιέσεις στην επιφάνειά του από τα σχεδόν ακίνητα χέρια του αγγειοπλάστη, "ανοίγει" και "κλείνει" παίρνοντας το καμπύλο σχήμα ενός αγγείου.

Και θα σταματούσα εδώ, αν η παράδοση της αγγειοπλαστικής τέχνης στην Κρήτη και ειδικότερα στις Μαργαρίτες δεν είχε να προσφέρει πολλά στα μαθηματικά και την μηχανική.

Τρίτη, 26 Ιουλίου 2011

Αλγόριθμοι και τεχνητή νοημοσύνη.



Πραγματικά, είναι εντυπωσιακό αυτό το ρομποτάκι Lego Mindstorms. Πόσοι δεν ζηλεύουμε την ευφυΐα του, να μπορεί να επιλύει με τέτοια άνεση τον κύβο του Rubik!

Πρόκειται όμως για ευφυΐα ή μήπως για κάτι άλλο;

Τετάρτη, 25 Μαΐου 2011

Διαστημικό ασανσέρ από νανοσωλήνες

Τρίτη, 1 Φεβρουαρίου 2011

Το "Πολυμήχανο"

Άραγε, υπάρχει διασκεδαστικός τρόπος για να μάθουμε μαθηματικά; Ο καθηγητής του MIT Seymour Papert, υποστηρίζει πως "ΝΑΙ". Μάλιστα, ως πρωτοπόρος σε παιδαγωγικά και τεχνολογικά θέματα, υπέδειξε και τον τρόπο: τα παιδιά αλληλεπιδρούν με ένα προγραμματιστικό περιβάλλον που χρησιμοποιεί μια στοιχειώδη γλώσσα προγραμματισμού, επινόηση του Papert, την γνωστή μας Logo.  Έτσι, μέσα από απλές, φυσικές, καθημερινές διαδικασίες που θυμίζουν παιχνίδι, όπως ο προγραμματισμός της χελωνίτσας της Logo να εκτελέσει έναν χορό, τα παιδιά γνώριζουν τον κόσμο των Μαθηματικών από μικρές ηλικίες και όχι επιφανειακά, αλλά σε βάθος.

Σήμερα, το Εργαστήριο Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας, ορμόμενο από τα ίδια ελατήρια, δημιούργησε έναν χώρο στο γήπεδο του Badminton στην Αθήνα, όπου νέοι και παιδιά νομίζουν πως απλώς παίζουν ενδιαφέροντα, έξυπνα, ομαδικά παιχνίδια, ενώ ουσιαστικά, καλλιεργούν την μαθηματική τους σκέψη.

Η δράση αυτή θεωρείται πρωτοποριακή, όχι μόνο για τα ελληνικά δεδομένα, αλλά και για τα διεθνή. Το  όνομά της, "Πολυμήχανο".