Πέμπτη, 20 Οκτωβρίου 2011

Μέτρηση επιφάνειας με... σουγιά

Από νωρίς οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν το εμβαδόν απλών γεωμετρικών σχημάτων, όπως παραλληλογράμμων, τραπεζίων, κύκλων. Το πέρασμα από τα πολύγωνα στον κύκλο φαίνεται δυσκολούτσικο, όμως αξίζει τον κόπο, καθώς η μαθηματική ιδέα της "εξάντλησης" που υποβόσκει, αποτελεί τη βάση για την έννοια του ολοκληρώματος και τον υπολογισμό του εμβαδού αρκετά πολύπλοκων σχημάτων.

Δυστυχώς, ο πραγματικός κόσμος περιλαμβάνει ακόμα πιο πολύπλοκα σχήματα από αυτά που μελετάμε στη Γεωμετρία ή την Ανάλυση του Λυκείου. Τότε, τι γίνεται με τις μετρήσεις; Την επιφάνεια μιας λίμνης την προσεγγίζουμε με άπειρα τετραγωνάκια ή μήπως κάπως αλλιώς;

Δείτε το ακόλουθο βίντεο: Προβάλει ένα επιπεδόμετρο (planimeter), ειδικό όργανο για τη μέτρηση επιφάνειας. Παρατηρήστε ότι καθώς η βελόνα του κινείται περιμετρικά στο σχήμα, ο κυκλικός μετρητής επιφάνειας αλλάζει φορά, για να αφαιρέσει το επιπλέον εμβαδόν. Ίσως να μας παραπλανά αυτή η λειτουργία και να σχηματίζουμε την εντύπωση ότι το όργανο υπολογίζει την εξίσωση της καμπύλης (περίγραμμα σχήματος) και έπειτα το ολοκλήρωμά της. Όμως, ως ένας απλός χειροκίνητος μηχανισμός από βραχίονες και γρανάζια, δεν κάνει υπολογισμούς! Στηρίζεται μονάχα στη Μηχανική και τη Γεωμετρία.


Τετάρτη, 19 Οκτωβρίου 2011

Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική στην Τεχνολογία

Ίσως για πολλούς η χαρτοδιπλωτική είναι παιδική ασχολία, ή στην καλύτερη περίπτωση ένα δημιουργικό καλλιτεχνικό χόμπι.

Όμως, όπως αναφέρει ο Dr. Robert Lang στο παρακάτω βίντεο, τα Μαθηματικά που κρύβει η χαρτοδιπλωτική είναι πολύτιμα για την Τεχνολογία. Ο κλάδος αυτός καλείται "Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική" και αντικείμενό του είναι η συρρίκνωση του όγκου κάποιων κατασκευών, όπως ο αερόσακος στο αυτοκίνητο, το κάτοπτρο ενός τηλεσκοπίου, ένα ενέσιμο εμφύτευμα που θα πρέπει να απλωθεί στον οργανισμό μετά την είσοδό του, σώζοντας έτσι ζωές! Η ιδέα της εξοικονόμησης του χώρου μέσω της "Υπολογιστικής Χαρτοδιπλωτικής" εκτείνεται και στην νανοτεχνολογία: επιστήμονας στο Carltech ασχολείται με νανοδιπλώσεις, χρησιμοποιώντας DNA.



Σε κάποια άλλη ομιλία του, στο "Wired Science", ο Dr. Lang αναφέρει το εξής εντυπωσιακό, που αποδίδει την δυσκολία αυτών των κατασκευών: "Υπάρχει μια επιστήμη που μετράει τη δυσκολία και πολυπλοκότητα ενός προβλήματος, κατατάσσει την χαρτοδιπλωτική στα "NP complete" προβλήματα, δηλαδή τα πολύ-πολύ δύσκολα":

There is a study of complexity in math that rates the difficulty of certain problem.  Some problems are polynomial time, which is another way of saying "not too hard" and there are problems called NP complete, which are very-very hard! And both, packing laguage and folding up an origami crease patern, are NP complete problems; very-very hard!

Πηγή: Robert Lang folds way-new origami (TED ideas worth spreading)
Wired Science: Origami Master

Ποιο είναι το σχήμα ενός τροχού;

Μη βιαστείτε να απαντήσετε σ' αυτήν την ερώτηση! Δείτε προσεκτικά την εικόνα παρακάτω. Οι τροχοί δεν είναι καθόλου κυκλικοί! Φυσικά αναρωτιέστε: "αυτό το ποδήλατο κινείται ομαλά στο οδόστρωμα, ή μήπως όχι;"
Το "κλειδί" είναι τα περίεργα σχήματα των τροχών. Τι ιδιότητες έχουν; Πολύ απλά, είναι σχήματα σταθερού πλάτους. Ειδικότερα, τα εικονιζόμενα ονομάζονται πολύγωνα Ρελώ (Reuleaux). Δείτε πόσο όμορφα κυλάει το τρίγωνο Ρελώ:



Please install Java (version 1.4 or later) to use JavaSketchpad applets.


Οι εφαρμογές των σχημάτων σταθερού πλάτους είναι πολλές στη Μηχανική. Στη δεύτερη πηγή που παραθέτουμε, υπάρχουν μερικές ενδεικτικές.

Πηγές:
1. Reuleaux Triangle, Wilstler Alley Mathematics
2. How round is your circle? Applications of shapes of constant width
3. multi-angle-wheel bicycly, china.org.cn
4. Πούλος Ανδρέας, Εφαρμογές της Γεωμετρίας στην Τεχνολογία και την καθημερινή ζωή

Τετάρτη, 5 Οκτωβρίου 2011

Τα Μαθηματικά στον Κινηματογράφο

Μια πολύ ενδιαφέρουσα σελίδα στον ιστότοπο του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ έχει θεματική τα Μαθηματικά στον Κινηματογράφο. Πρωταγωνιστές, όχι μόνο οι Μαθηματικοί Επιστήμονες, αλλά και τα ίδια τα Μαθηματικά. Παραθέτω δύο φιλμάκια:

Το πρώτο, από την γνωστή "Επιπεδοχώρα" (Flatland), απόδοση σε κινούμενα σχέδια της ομώνυμης νουβέλας του Edwin Abbott Abbott, 1884. Στο απόσπασμα παρακολουθούμε τον επαγωγικό λογισμό του τετραγώνου: "Εφόσον οι δυνάμεις των αριθμών μπορούν να μεταφραστούν σε διαστάσεις, τότε, ίσως να υπάρχει και η 4η διάσταση...".

Ο προβληματισμός έντονος για μια πραγματικότητα γύρω μας που οι αισθήσεις μας αδυνατούν να συλλάβουν. Μια άλλη εκδοχή της "αλληγορίας του σπηλαίου" του Πλάτωνα.


Η δεύτερη ταινία είναι χιουμοριστική, ένας ποδοσφαιρικός αγώνας Ελλάδας - Γερμανίας με ξεχωριστούς παίκτες!


Πηγή: http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/