Από νωρίς οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν το εμβαδόν απλών γεωμετρικών σχημάτων, όπως παραλληλογράμμων, τραπεζίων, κύκλων. Το πέρασμα από τα πολύγωνα στον κύκλο φαίνεται δυσκολούτσικο, όμως αξίζει τον κόπο, καθώς η μαθηματική ιδέα της "εξάντλησης" που υποβόσκει, αποτελεί τη βάση για την έννοια του ολοκληρώματος και τον υπολογισμό του εμβαδού αρκετά πολύπλοκων σχημάτων.
Δυστυχώς, ο πραγματικός κόσμος περιλαμβάνει ακόμα πιο πολύπλοκα σχήματα από αυτά που μελετάμε στη Γεωμετρία ή την Ανάλυση του Λυκείου. Τότε, τι γίνεται με τις μετρήσεις; Την επιφάνεια μιας λίμνης την προσεγγίζουμε με άπειρα τετραγωνάκια ή μήπως κάπως αλλιώς;
Δείτε το ακόλουθο βίντεο: Προβάλει ένα επιπεδόμετρο (planimeter), ειδικό όργανο για τη μέτρηση επιφάνειας. Παρατηρήστε ότι καθώς η βελόνα του κινείται περιμετρικά στο σχήμα, ο κυκλικός μετρητής επιφάνειας αλλάζει φορά, για να αφαιρέσει το επιπλέον εμβαδόν. Ίσως να μας παραπλανά αυτή η λειτουργία και να σχηματίζουμε την εντύπωση ότι το όργανο υπολογίζει την εξίσωση της καμπύλης (περίγραμμα σχήματος) και έπειτα το ολοκλήρωμά της. Όμως, ως ένας απλός χειροκίνητος μηχανισμός από βραχίονες και γρανάζια, δεν κάνει υπολογισμούς! Στηρίζεται μονάχα στη Μηχανική και τη Γεωμετρία.
Δυστυχώς, ο πραγματικός κόσμος περιλαμβάνει ακόμα πιο πολύπλοκα σχήματα από αυτά που μελετάμε στη Γεωμετρία ή την Ανάλυση του Λυκείου. Τότε, τι γίνεται με τις μετρήσεις; Την επιφάνεια μιας λίμνης την προσεγγίζουμε με άπειρα τετραγωνάκια ή μήπως κάπως αλλιώς;
Δείτε το ακόλουθο βίντεο: Προβάλει ένα επιπεδόμετρο (planimeter), ειδικό όργανο για τη μέτρηση επιφάνειας. Παρατηρήστε ότι καθώς η βελόνα του κινείται περιμετρικά στο σχήμα, ο κυκλικός μετρητής επιφάνειας αλλάζει φορά, για να αφαιρέσει το επιπλέον εμβαδόν. Ίσως να μας παραπλανά αυτή η λειτουργία και να σχηματίζουμε την εντύπωση ότι το όργανο υπολογίζει την εξίσωση της καμπύλης (περίγραμμα σχήματος) και έπειτα το ολοκλήρωμά της. Όμως, ως ένας απλός χειροκίνητος μηχανισμός από βραχίονες και γρανάζια, δεν κάνει υπολογισμούς! Στηρίζεται μονάχα στη Μηχανική και τη Γεωμετρία.