tag:blogger.com,1999:blog-92119912648230365652024-02-19T00:11:32.225-08:00Μαθηματικές ΠτήσειςΕιρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.comBlogger45125tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-43236782682783501162019-05-29T05:10:00.001-07:002019-05-29T08:25:21.197-07:00Ηλεκτρονικά κείμενα του π. Ηλία Βολονάκη<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ο αγαπημένος μας πνευματικός, ο πατέρας Ηλίας Βολονάκης, κοιμήθηκε στις 23 Μαΐου 2019. "Έφυγε", αλλά ακόμα γευόμαστε την αγάπη του σε ένα παρόν που νικάει τον χρόνο. Σταγόνα αυτής της απέραντης αγάπης αποτελούν και όσα δημοσίευσε στην εφημερίδα ΠΑΤΡΙΣ, θέματα πνευματικά και επίκαιρα.<br />
Αναζήτησα τα κείμενα στο διαδίκτυο και τα συγκέντρωσα σε τούτο το άρθρο θέλοντας να τα μοιραστώ με όλα τα πνευματικά του παιδιά, που λαχταράμε να μη σβήσει από το νου και την καρδιά μας ο σωτήριος λόγος του.<br />
Ας έχουμε την ευχή του κι ας γίνουμε μιμητές του.<br />
<br />
<iframe allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/cISD_OMJdHc" width="560"></iframe>
<br />
<span style="background-color: white; border: 0px; font-family: "calibri" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">19/02/2008 Η έννοια και η σημασία της διακονίας εις την Εκκλησία</span><span style="background-color: white; font-family: "calibri" , "helvetica" , sans-serif; font-size: 16px;"></span><br />
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
ΦΙΛΟΘΕΗ Η ΑΘΗΝΑΙΑ</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a href="https://archive.patris.gr/articles/127697">https://archive.patris.gr/articles/127697</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
10/04/2012 Η ευθύνη όλων μας</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
(Σκέψεις και σχόλια επί της ευαγγελικής περικοπής της πέμπτης Κυριακής των Νηστειών-Μάρκου ι’ 32-45)</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/220713" id="LPlnk804076" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/220713</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
12/05/2012 Η εορτή της μητέρας </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/222215" id="LPlnk656118" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/222215</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
26/05/2012 Ο άνθρωπος πλάστηκε για τη χαρά</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/222994" id="LPlnk103438" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/222994</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
30/06/2012 Ο Παύλος, ο απόστολος των εθνών, ο απόστολος της Ελλάδας, ο απόστολος της Κρήτης</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/224841" id="LPlnk978948" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/224841</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
09/11/2012 Σκέψεις επί της Ευαγγελικής Περικοπής του πλουσίου και του Λαζάρου</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/232109" id="LPlnk297363" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/232109</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
12/12/2012 Εορτή του Αγίου Σπυρίδωνος</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/234002" id="LPlnk438892" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/234002</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
14/09/2013 Η Ύψωσις του Τιμίου Σταυρού</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/248539" id="LPlnk198476" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/248539</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
08/10/2013 Ο θάνατος και οι χριστιανοί</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/249777" id="LPlnk814803" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/249777</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
06/12/2013 6 Δεκεμβρίου 2013: Εορτή Αγίου Νικολάου</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/253215" id="LPlnk778621" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/253215</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
24/12/2013 Τα χριστούγεννα</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/254293" id="LPlnk838672" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/254293</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
15/02/2014 Ο άνθρωπος που πταίει - Ο Θεός που αγαπά</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/257219" id="LPlnk349814" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/257219</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
19/07/2014 Ο Προφήτης Ηλίας Απόστολος</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
(Ιακώβου Ε’10-20) 20 Ιουλίου 2014</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/265653" id="LPlnk632196" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/265653</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
08/09/2014 Το Γενέσιο της Θεοτόκου Δευτέρα 8 Σεπτεμβρίου 2014</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/268362" id="LPlnk756575" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/268362</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
10/12/2014 Η συγκύπτουσα του Ευαγγελίου (Λουκ. ιγ’ 10-17)</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/273490" id="LPlnk317441" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/273490</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
02/01/2015 Νέος χρόνος νέες αποφάσεις</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/274576" id="LPlnk673149" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/274576</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
02/03/2015 Η Κυριακή της Ορθοδοξίας</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/277500" id="LPlnk343400" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/277500</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
23/03/2015 Η Παναγία, η μητέρα μας</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/278769" id="LPlnk262973" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/278769</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
09/04/2015 Ο Πιλάτος της Ιερουσαλήμ, οι πιλάτοι του σήμερα</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/279739" id="LPlnk617585" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/279739</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
15/08/2015 15 Αυγούστου 2015: Με αφορμή την Κοίμηση της Θεοτόκου</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/286450" id="LPlnk896483" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/286450</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
14/09/2015 Ο Τίμιος Σταυρός</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/287714" id="LPlnk139891" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/287714</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
17/10/2015 Λόγια αγάπης προς τους νέους</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/289297" id="LPlnk194718" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/289297</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
14/12/2015 Χριστούγεννα πηγή χαράς</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/291856" id="LPlnk221360" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/291856</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
01/02/2016 Η Εκκλησία του Χριστού και οι πιστοί</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/294045" id="LPlnk508345" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/294045</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
07/03/2016 “Δοξάσατε τον Θεόν εν τω σώματι υμών”</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/295713" id="LPlnk733187" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/295713</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
15/03/2016 Οδεύομεν προς το Άγιο Πάσχα</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/296028" id="LPlnk375849" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/296028</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
28/03/206 Μετάνοια και εξομολόγηση</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
“Εάν ανομίας παρατηρήσης, Κύριε, Κύριε, τις υποστήσεται; Οτι παρά σοι ο ιλασμός” (Ψαλμ. 129 3-4)</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/296607" id="LPlnk294692" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/296607</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
11/04/2016 Λόγος περί Μνημοσύνων</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/297270" id="LPlnk380924" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/297270</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
22/06/2016 Ο Ιερός Ναός του Αγίου Πνεύματος Ρογδιάς</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
(21 χρόνια από τη θεμελίωσή του)</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/300367" id="LPlnk428096" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/300367</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
13/08/2016 Η Παναγία: Το πρότυπο κάθε ανθρώπου</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/302865" id="LPlnk421928" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/302865</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
03/10/2016 Ο Απόστολος Παύλος ως ποιμήν</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/305049" id="LPlnk283363" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/305049</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
05/12/2016 Η νηστεία πανάρχαιος και θεόσδοτος θεσμός</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/307961" id="LPlnk433724" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/307961</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
27/12/2016 Χρόνος και αιωνιότητα</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/308941" id="LPlnk509972" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/308941</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
30/01/2017 Οι Τρεις Ιεράρχες και η αγωγή των νέων σήμερα</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/310554" id="LPlnk743492" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/310554</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
06/02/2017 Ο χριστιανός και η καθημερινότητα</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/310911" id="LPlnk759753" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/310911</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
13/02/2017 Η προσευχή</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/311273" id="LPlnk115554" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/311273</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
28/02/2017 Η επετεία</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/311958" id="LPNoLP960190" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/311958</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
13/03/2017 Η μετάνοια</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/312576" id="LPlnk374907" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/312576</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
20/03/2017 Η ταπείνωση</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/312939" id="LPlnk636224" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/312939</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
27/03/2017 Ανησυχίες για τη σημερινή ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/313242" id="LPlnk930856" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/313242</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
03/04/2017 Ο γάμος ως μυστήριο</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/313634" id="LPlnk653662" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/313634</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
02/05/2017 Το Άγιον Φως</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://archive.patris.gr/articles/314909" id="LPlnk767627" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://archive.patris.gr/articles/314909</a> </div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<br style="-webkit-font-smoothing: antialiased;" /></div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
10/05/2018 Λίγα λόγια αγάπης για τον π. Σταύρο Τζαγκαράκη από τον π. Ηλία Βολονάκη</div>
<div style="-webkit-font-smoothing: antialiased; background-color: white; border: 0px; font-family: Calibri, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; font-stretch: inherit; font-variant-east-asian: inherit; font-variant-numeric: inherit; line-height: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<a data-auth="NotApplicable" href="https://www.patris.gr/2018/05/10/liga-logia-agapis-gia-ton-p-stayro-tzagkaraki-apo-ton-p-ilia-volonaki/" id="LPNoLP958536" rel="noopener noreferrer" style="-webkit-font-smoothing: antialiased; border: 0px; font: inherit; margin: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;" target="_blank">https://www.patris.gr/2018/05/10/liga-logia-agapis-gia-ton-p-stayro-tzagkaraki-apo-ton-p-ilia-volonaki/</a> </div>
</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-89083394321504474862015-08-19T15:19:00.002-07:002015-08-19T15:26:13.714-07:00Τα τζιτζίκια και οι πρώτοι αριθμοί<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Είναι εντυπωσιακό να μαθαίνεις ότι ο κύκλος της ζωής ενός τζιτζικιού είναι 17 χρόνια και ότι τα εκκωφαντικά τους τραγούδια το καλοκαίρι σημαδεύουν τις τελευταίες εβδομάδες της ζωής τους, όπως σημειώνει και το άρθρο "<a href="http://www.lifo.gr/team/u46881/59809" target="_blank">Όχι δάκρυα για τα τζιτζίκια</a>".<br />
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="281" mozallowfullscreen="" src="https://player.vimeo.com/video/66688653" webkitallowfullscreen="" width="500"></iframe>
</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Θαυμαστή πραγματικά η φύση, όταν την παρατηρεί κανείς με τόση προσοχή. Μπορούμε όμως να καταλάβουμε τη σοφία της; Υποψιαζόμαστε καθόλου ότι ο αριθμός 17 στον κύκλο ζωής του τζιτζικιού είναι σοφά επιλεγμένος και όχι τυχαίος; Μάλιστα! Γιατί είναι ένας μεγάλος πρώτος αριθμός και συνηθίζεται τα διάφορα είδη τζιτζικιών να συμπληρώνουν τον κύκλο της ζωής τους σε τέτοιους μεγάλους πρώτους αριθμούς, όπως το 13 ή το 17. Είναι θέμα επιβίωσης και διαιώνισης του είδους.</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Μάθετε περισσότερα από το άρθρο "<a href="http://blogs.scientificamerican.com/observations/deciphering-the-strange-mathematics-of-cicadas-video/" target="_blank">Decifering the strange mathematics of cicadas</a>".</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: center;">
<object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=9,0,47,0" height="270" id="flashObj" width="480"><param name="movie" value="http://c.brightcove.com/services/viewer/federated_f9?isVid=1&isUI=1" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><param name="flashVars" value="videoId=2399458986001&playerID=4298174096001&playerKey=AQ~~,AAAAAFNl7zk~,OmXvgxJOvrFlNNcISwb5HS0SrUe6qS3Q&domain=embed&dynamicStreaming=true" /><param name="base" value="http://admin.brightcove.com" /><param name="seamlesstabbing" value="false" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><param name="swLiveConnect" value="true" /><param name="allowScriptAccess" value="always" /><embed src="http://c.brightcove.com/services/viewer/federated_f9?isVid=1&isUI=1" bgcolor="#FFFFFF" flashVars="videoId=2399458986001&playerID=4298174096001&playerKey=AQ~~,AAAAAFNl7zk~,OmXvgxJOvrFlNNcISwb5HS0SrUe6qS3Q&domain=embed&dynamicStreaming=true" base="http://admin.brightcove.com" name="flashObj" width="480" height="270" seamlesstabbing="false" type="application/x-shockwave-flash" allowFullScreen="true" allowScriptAccess="always" swLiveConnect="true" pluginspage="http://www.macromedia.com/shockwave/download/index.cgi?P1_Prod_Version=ShockwaveFlash"></embed></object></div>
</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-42522735701091899782015-08-19T14:58:00.003-07:002015-08-19T14:59:54.574-07:00Πλακόστρωση του επιπέδου με πενταγωνικό πλακάκι<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://asset.tovima.gr/vimawebstatic//A050A9407703EE22F6E0E7381282099B.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://asset.tovima.gr/vimawebstatic//A050A9407703EE22F6E0E7381282099B.jpg" height="191" width="320" /></a></div>
<br />
Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα Γεωμετρίας είναι η πλακόστρωση του επιπέδου με ένα πλακάκι, χωρίς κενά και επικαλύψεις. Αν το πλακάκι είναι κανονικό πολύγωνο (δηλαδή με ίσες πλευρές και ίσες γωνίες) τότε η πλακόστρωση επιτυγχάνεται μόνο στις περιπτώσεις του τετραγώνου, του ισόπλευρου τριγώνου και του κανονικού εξαγώνου. Τα υπόλοιπα κανονικά πολύγωνα αποτυγχάνουν να πλακοστρώσουν το επίπεδο, συμπεριλαμβανομένου και του κανονικού πενταγώνου.<br />
<br />
Αν όμως το πεντάγωνο δεν είναι κανονικό, και έχει κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, τότε είναι δυνατόν να πλακοστρώσει το επίπεδο. Βέβαια, δεν υπάρχουν και πολλά τέτοια "ιδιαίτερα" πεντάγωνα. Από το 1918 που βρέθηκαν τα πέντε πρώτα μέχρι σήμερα έχουν ανακαλυφθεί μονάχα 15!<br />
<br />
Μάθετε λοιπόν για το 15ο πενταγωνικό πλακάκι από το ακόλουθο άρθρο:<br />
<a href="http://www.tovima.gr/science/mathematics-computers/article/?aid=730382" target="_blank">ΤΟ ΒΗΜΑ - Το καινούριο μαθηματικό "πλακάκι"</a></div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-30023221037806012692014-10-05T08:56:00.000-07:002014-10-05T08:57:17.849-07:00Δημιουργική σκέψη<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Πώς θα σας φαινόταν αν σας έλεγα ότι ένα σκουλαρίκι μου αντί για τα συμβατά "στοπ" έχει ένα κομματάκι γομολάστιχας; Μάλιστα, για του λόγου το αληθές, το φωτογράφισα:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8M8pLp-9O4xvDTIvKhx5xE6D_l51CLLxff9sG6rDLQUGglSPWa0qZDRqNEzQZso5ytUBhpaoOAG2qVM-vquRadPrF8qsYm7tsTsp4368_76cEp5jFga0pW7v9TVVjXCykNwSundLgMlKo/s1600/stop.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8M8pLp-9O4xvDTIvKhx5xE6D_l51CLLxff9sG6rDLQUGglSPWa0qZDRqNEzQZso5ytUBhpaoOAG2qVM-vquRadPrF8qsYm7tsTsp4368_76cEp5jFga0pW7v9TVVjXCykNwSundLgMlKo/s1600/stop.png" height="320" width="280" /></a></div>
<br />
Πριν βιαστείτε να με κατηγορήσετε για αυτήν την παράδοξη αξιοποίηση της γομολάστιχας, που συνέβη γιατί δεν είχα κάποιο καλωδιάκι να κόψω για "στοπ", να σας πω ότι αποτελεί μια δημιουργική ενέργεια.<br />
<br />
<a name='more'></a> Σε τι έγκειται η δημιουργικότητα; Κυρίως στην αναπτυγμένη φαντασία, αλλά και στην τόλμη του διαφορετικού. Και ενώ αυτά είναι τα συστατικά της, η δημιουργικότητα εκδηλώνεται ως "αποκλίνουσα " (divergent) σκέψη και ως "συγκλίνουσα" (convergent). Με την πρώτη, το δημιουργικό άτομο διαθέτει ή καλλιεργεί εναλλακτικές οπτικές για ένα θέμα, ενώ με τη δεύτερη εμβαθύνει σε ένα θέμα και κατορθώνει να συνδυάσει ετερογενή πράγματα προς έναν σκοπό, π.χ. για την επίλυση ενός προβλήματος.<br />
<br />
Το ερώτημα είναι: εμείς οι εκπαιδευτικοί κατά πόσο καλλιεργούμε τη δημιουργική σκέψη των μαθητών μας; Ίσως οι "παραμυθάδες" να μας έχουν ξεπεράσει σε αυτό. Ας ακούσουμε λοιπόν έναν να ομιλεί για την φαντασία: <br />
<br /></div>
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="//www.youtube.com/embed/tx67UwCrqkU?rel=0" width="560"></iframe>
</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-78949513228509683292014-02-10T12:28:00.000-08:002014-02-10T13:03:05.879-08:00Ο τυχαίος περίπατος του κυρ Μέντιου<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ο συμπαθέστατος κυρ Μέντιος έχει βγει για έναν περίπατο. Στόχος του ένα πολύ ωραίο κουκουνάρι, μόλις δύο βήματα μπροστά του.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigScHtH6UBh-z9PSM-a9cRtx_mawRfv4P4NVvDN708bXLqboK3d8aSNJG9ardS0HS_GjRtALowH3-cKQ0-xSj5bQaIz27eaizkTyk59MnMCEHYpqo61bGfmgg-HOlYjp39zp-a-Vo0P7BL/s1600/pic07.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigScHtH6UBh-z9PSM-a9cRtx_mawRfv4P4NVvDN708bXLqboK3d8aSNJG9ardS0HS_GjRtALowH3-cKQ0-xSj5bQaIz27eaizkTyk59MnMCEHYpqo61bGfmgg-HOlYjp39zp-a-Vo0P7BL/s1600/pic07.png" height="272" width="320" /></a></div>
Όμως το να φτάσει στον στόχο του δεν είναι απλή υπόθεση... Ένα κέρμα ρίπτεται πριν από κάθε βήμα και ανάλογα, αν η ένδειξη είναι "κορώνα", πηγαίνει μπροστά ένα βηματάκι, ενώ αν η ένδειξη είναι "γράμματα" πηγαίνει πίσω ένα βηματάκι. Τι πιθανότητες έχει να φτάσει το κουκουνάρι του αν το νόμισμα ριφθεί ακριβώς δύο φορές;<br />
Αν πάλι το κουκουνάρι του ήταν στην θέση 3, τι πιθανότητες θα είχε να φτάσει εκεί αν το νόμισμα ριφθεί ακριβώς 3 φορές;<br />
Πάντως, παρόλο που θα χρειαστεί γαϊδουρινή υπομονή, ο κυρ Μέντιος είναι πολύ τυχερός που κάνει βόλτες σε ένα τόσο όμορφο λιβάδι της ελληνικής υπαίθρου...<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjojNQ-H1yoe0b0Q79bgWsQCNz_4hro9xSz2TtP5eimOGuCkYl_A1cpFreygeDcxhAbd7m6rnc4l0lC-kXCB-GUOE0G-5DlS_7v8VyOcc3aHBOkjRnbPSkVGAPTYz3eyry7TPV5aTSLiRT-/s1600/pic04.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjojNQ-H1yoe0b0Q79bgWsQCNz_4hro9xSz2TtP5eimOGuCkYl_A1cpFreygeDcxhAbd7m6rnc4l0lC-kXCB-GUOE0G-5DlS_7v8VyOcc3aHBOkjRnbPSkVGAPTYz3eyry7TPV5aTSLiRT-/s1600/pic04.png" height="187" width="320" /></a></div>
<br />
...το οποίο σχεδίασαν με πολύ κέφι δυο κορίτσια.</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-64911374528601130612014-02-08T13:22:00.000-08:002014-02-08T13:22:10.258-08:00Μπουκάλια γεμάτα μυστήρια<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEF_TJiKaKNN5ucTFrFcMTQRcwLoSXADvJSjGvyV8qqOdzLafUoOKR0fxN76ohiPAMk5d_Drb7_YL3EMYPG_FOL9I1KZB2xzZbVN0-Gr2eBks-Lv4dkYzs9mBSh57Fn-fESEnurVghfvNI/s1600/pic01.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEF_TJiKaKNN5ucTFrFcMTQRcwLoSXADvJSjGvyV8qqOdzLafUoOKR0fxN76ohiPAMk5d_Drb7_YL3EMYPG_FOL9I1KZB2xzZbVN0-Gr2eBks-Lv4dkYzs9mBSh57Fn-fESEnurVghfvNI/s1600/pic01.png" height="165" width="320" /></a></div>
Μια σειρά από μπουκάλια, έρχονται να προκαλέσουν την λογική μας. Το παιχνίδι έχει απλούς κανόνες:<br />
<ul style="text-align: left;">
<li>Κάθε μπουκάλι περιέχει 2 ή 3 μικρές μπαλίτσες.</li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJ-gvG3vRjOEUrnZbSl1NKgZgUI80JytIOna2WhpnjnoDQPNs34pMvQrYPZn0ZV9Q-q3Et2eQyiujObUPGE-kqh5KTkpBzW_aiUAeQng8RKCOQvTZmjvNnWz8TNpfGUGPEEXRDYsJWzlID/s1600/pic02.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJ-gvG3vRjOEUrnZbSl1NKgZgUI80JytIOna2WhpnjnoDQPNs34pMvQrYPZn0ZV9Q-q3Et2eQyiujObUPGE-kqh5KTkpBzW_aiUAeQng8RKCOQvTZmjvNnWz8TNpfGUGPEEXRDYsJWzlID/s1600/pic02.png" height="186" width="200" /></a></div>
<ul style="text-align: left;">
<li>Κανένας δεν μπορεί να δει το περιεχόμενο ενός μπουκαλιού (δεν επιτρέπεται να ανοίξετε το καπάκι) αλλά μπορείτε να ανακινήσετε το μπουκάλι σας και να δείτε μέρος από μια μπαλίτσα να ξεπροβάλει στο στόμιο.</li>
</ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhITe2YVEMZydnko3EIP5EX3xm30_e_vbo46E7dtMGfGAKb1KOOqPgx_M464PYdxPBNFW7pkW9LQ9ma-sh_8vLN1B5ygoToDLFbf10Z2ZXrRR8OO1I_RmtH89nz-BUmQcvoxzMBT94Wd-Gp/s1600/pic03.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhITe2YVEMZydnko3EIP5EX3xm30_e_vbo46E7dtMGfGAKb1KOOqPgx_M464PYdxPBNFW7pkW9LQ9ma-sh_8vLN1B5ygoToDLFbf10Z2ZXrRR8OO1I_RmtH89nz-BUmQcvoxzMBT94Wd-Gp/s1600/pic03.png" height="176" width="200" /></a></div>
<ul style="text-align: left;">
<li>Το ζητούμενο είναι να καταφέρετε να πείτε με βεβαιότητα πόσες μπαλίτσες έχει κάθε μπουκάλι και τι χρώματος.</li>
</ul>
Το ερώτημα που θα θέσουμε, και θα περιμένουμε να μας το απαντήσετε στα σχόλια, είναι: Τι μαθηματικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε τον γρίφο των μπουκαλιών;<br />
<br /></div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-17089484698762281432013-11-07T07:25:00.001-08:002013-11-07T07:25:29.202-08:00Η ομορφιά των μαθηματικών<a href="http://www.videoman.gr/50880">Η ομορφιά των μαθηματικών</a>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-25146268614306498662013-11-06T00:12:00.001-08:002013-11-06T00:13:24.094-08:00Η Λυκειοποίηση της Εκπαίδευσης<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Παρακολουθήστε τα βίντεο σε <a href="http://www.koinonia-demo.gr/2013/11/%CE%B7-%CE%BB%CF%85%CE%BA%CE%B5%CE%B9%CE%BF%CF%80%CE%BF%CE%AF%CE%B7%CF%83%CE%B7-%CF%84%CE%B7%CF%82-%CE%B5%CE%BA%CF%80%CE%B1%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CF%85%CF%83%CE%B7%CF%82-video/" target="_blank">αυτόν</a> τον σύνδεσμο.<br />
<br /></div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-27205006168868392352013-02-13T12:21:00.000-08:002013-02-13T12:21:28.444-08:00Μια μαθημαγική παρουσίαση από τον Benjamin Arthur<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ο μαθημάγος Benjamin Arthur, γοήτευσε το κοινό του σε πρόσφατη ομιλία του στην Αθήνα. Παρακολουθήστε την στο <a href="http://www.blod.gr/lectures/Pages/viewlecture.aspx?LectureID=716" target="_blank">Blod</a>.<br />
<br />
Δείτε και την ομιλία του στον TED:<br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" mozallowfullscreen="" scrolling="no" src="http://embed.ted.com/talks/lang/el/arthur_benjamin_does_mathemagic.html" webkitallowfullscreen="" width="560"></iframe>
<h3 style="text-align: left;">
Πηγές</h3>
<ol style="text-align: left;">
<li><a href="http://www.blod.gr/lectures/Pages/viewlecture.aspx?LectureID=716" target="_blank">Blod | Benjamin Arthur | Secrets of Mental Maths - Μια μαθημαγική παρουσίαση </a></li>
<li><a href="http://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_does_mathemagic.html" target="_blank">Ο Άρθουρ Μπέντζαμιν κάνει "Μαθημαγικά" | Video on TED.com</a></li>
</ol>
</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-59513341099549647542013-01-03T08:11:00.000-08:002013-01-03T08:34:45.865-08:00Ιστορία αγάπης στην "Κλεπτοπία"<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Δύο ερωτευμένοι, ο Ίαν και η Μαρία, ζουν σε χωριστές πόλεις της Κλεπτοπίας. Ο Ίαν θέλει να στείλει ένα δαχτυλίδι στην αγαπημένη του Μαρία ως αρραβώνα, αλλά γνωρίζει πως θα πρέπει να το στείλει σε κουτί που να κλείνει με λουκέτο, διαφορετικά θα το κλέψουν οι κάτοικοι της Κλεπτοπίας. Τόσο ο Ίαν, όσο και η Μαρίά, διαθέτουν πάρα πολλά κουτιά που κλείνουν με λουκέτα και φυσικά, πάρα πολλά λουκέτα. Όμως κανένας δεν έχει ένα κλειδί που να ανοίγει κάποιο από τα λουκέτα του άλλου. Πώς θα αποστείλει ο Ίαν το δαχτυλίδι στα χέρια της Μαρίας με ασφάλεια;<br />
<br />
Αυτό το πρόβλημα το έθεσε η Caroline Calderbank, η νεαρή κόρη των Μαθηματικών Ingrid Daubechies και Rob Calderbank. Η λύση που επινόησε ήταν η εξής: Παραλαμβάνοντας το σφραγισμένο κουτί με το δαχτυλίδι, η Μαρία φυσικά δεν μπορεί να το ανοίξει, αλλά εύκολα προσθέτει ένα δικό της λουκέτο στο ίδιο πέρασμα που βρίσκεται και το λουκέτο του Ίαν (υποθέτουμε ότι αυτό είναι αρκετά μεγάλο για τα δυο λουκέτα). Το πακέτο με τα δυο λουκέτα το στέλνει πίσω στον Ίαν ο οποίος αφαιρεί το δικό του (το άλλο και να θέλει να το αφαιρέσει δεν μπορεί). Ταχυδρομεί εκ νέου το κουτί στη Μαρία, που είναι πάλι σφραγισμένο, αλλά αυτή τη φορά με το δικό της λουκέτο το οποίο μπορεί να ξεκλειδώσει. <br />
<br />
Όπως παρατηρεί ο Peter Winkler, η μέθοδος αυτή είναι λίγο-πολύ ίδια με την μέθοδο αποκρυπτογράφισης των μηνυμάτων. Στο άρθρο του (δείτε την πηγή) προτείνει και μια δεύτερη λύση με λιγότερες αποστολές: Ο Ίαν τοποθετεί το δαχτυλίδι σε κουτί και το σφραγίζει με ένα λουκέτο που το κλειδί του έχει μια μεγάλη τρύπα (ή τουλάχιστον υπάρχει χώρος να σχηματιστεί με τρυπάνι μια μεγάλη τρύπα). Η τρύπα αυτή χρειάζεται για να περαστεί το κλειδί σε ένα λουκέτο που σφραγίζει ένα άδειο κουτί, το οποίο ταχυδρομεί πρώτα στη Μαρία. Όταν βεβαιωθεί ότι η Μαρία παρέλαβε το άδειο κουτί (π.χ. με κάποιο μέιλ) τότε στέλνει και το κουτί με το δαχτυλίδι, που τώρα μπορεί να το ανοίξει η Μαρία, εφόσον παρέλαβε το κλειδί του στην προηγούμενη ταχυδρομική αποστολή. (το κλειδί, θυμηθείτε, δεν είναι μέσα στο κουτί αλλά περασμένο στο λουκέτο)<br />
<br />
Ένα δικό μου σχόλιο, λίγο άσχετο... Μου κάνει εντύπωση που χρησιμοποιήθηκε η ελληνική λέξη "Kleptopia"!<br />
<h4>
<span style="font-size: x-small;"><span style="font-family: Tahoma;">Πη<span style="font-size: x-small;">γή</span></span></span> </h4>
<a href="http://www.math.dartmouth.edu/~pw/solutions.pdf" target="_blank">Seven puzzles you think you must not have heard correctly with solutions</a>, Peter Winkler</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-23874157444940136582012-12-29T15:09:00.000-08:002012-12-29T15:33:04.787-08:00Το μαγικό τετράγωνο του DürerΟ πίνακας παρακάτω είναι γνωστός ως "MELENCOLIA I" του δεινού καλλιτέχνη Albrecht Dürer, γερμανικής καταγωγής. Αξίζει να κάνετε κλικ επάνω του για να τον δείτε σε μεγέθυνση και να εστιάσετε σε μερικές λεπτομέρειες...<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Albrecht_D%C3%BCrer_-_Melencolia_I_-_Google_Art_Project.jpg" target="_blank"><img border="0" height="400" src="http://mathworld.wolfram.com/images/gifs/melencol.jpg" width="316" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Και πρώτα απ' όλα, παρατηρήστε το 4×4 αριθμητικό τετράγωνο επάνω δεξιά:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/8/81/Durer%27s_Magic_Square.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/8/81/Durer's_Magic_Square.jpg" width="192" /></a><a href="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DurersMagicSquare_1000.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DurersMagicSquare_1000.gif" width="196" /></a></div>
Τι ιδιαίτερο έχει αυτό το τετράγωνο; Είναι όπως λέμε μαγικό, καθώς το άθροισμα των αριθμών κάθε στήλης, κάθε γραμμής, και των δύο διαγωνίων είναι σταθερά ίσο με 34. Αυτό είναι επακόλουθο της εξής εντυπωσιακής ιδιότητας: Κάθε ζεύγος αριθμών συμμετρικό ως προς το κέντρο του τετραγώνου, έχει άθροισμα 17 (π.χ. 5+12=17, 10+7=17, 16+1=17).<br />
Επιπλέον, οι αριθμοί που βρίσκονται στα επόμενα πέντε τετράγωνα διαστάσων 2×2, πάλι έχουν άθροισμα 34:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DurersMagicSquareBoxes_1000.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DurersMagicSquareBoxes_1000.gif" /></a></div>
Οι μελετητές του έργου εντοπίζουν τα εξής ενδιαφέροντα στοιχεία: οι αριθμοί 15 και 14 στην τελευταία γραμμή σχηματίζουν την χρονολογία δημιουργίας του πίνακα, δηλαδή το 1514. Επίσης, οι αριθμοί 4 και 1 πριν και μετά από αυτούς αντιστοιχούν στα γερμανικά γράμματα D και Α, που είναι τα αρχικά του ονόματος του καλλιτέχνη.<br />
Τέλος, αινιγματικό παραμένει το ποιο στερεό απεικονίζει ο ογκόλιθος στο βάθος.<br />
<br />
Ο Albrecht Dürer, εκτός από καλλιτέχνης, υπήρξε και Μαθηματικός Ερευνητής. Μερικές από τις διατριβές του αφορούν κατασκευές των κωνικών τομών, της σπείρας του Αρχιμήδη, μελέτη των κανονικών πολυγώνων, των Πλατωνικών και Αρχιμήδειων στερεών, καθώς και της κατασκευής των γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου με κανόνα και διαβήτη.<br />
<br />
<h3>
Πηγές</h3>
<ol>
<li><a href="http://www.dean.usma.edu/math/people/rickey/papers/ShortCourseAlbuquerque.pdf" target="_blank">Dürer’s Magic Square, Cardano’s Rings, Prince Rupert’s Cube, and Other Neat Things, V. Frederick Rickey</a></li>
<li><a href="http://mathworld.wolfram.com/DuerersMagicSquare.html" target="_blank">Dürer's Magic Square -- from Wolfram MathWorld</a></li>
</ol>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-67288966944373254172012-11-03T15:18:00.001-07:002012-12-29T15:10:33.143-08:00Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Τι είναι το "παλίμψηστο του Αρχιμήδη"; Πόσο εύκολη ή δύσκολη ήταν η ανάγνωσή του; Τι καινούριο εντόπισαν οι επιστήμονες στα έργα του Αρχιμήδη; Το επόμενο βιντεάκι απαντά σύντομα σε όλες αυτές τις ερωτήσεις.<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="allowfullscreen" frameborder="0" height="315" mozallowfullscreen="mozallowfullscreen" scrolling="no" src="http://embed.ted.com/talks/lang/el/william_noel_revealing_the_lost_codex_of_archimedes.html" webkitallowfullscreen="webkitallowfullscreen" width="560"></iframe>
</div>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: left;">
Πάντως, μου δημιουργήθηκε η εξής απορία από το βίντεο: Ενώ φαίνεται πως η ανάγνωση των έργων του Αρχιμήδη στον κώδικα C έγινε μετά το 1999 και πως το "Στομάχιον" του Αρχιμήδη ήταν ένα έργο που εμφανίστηκε μονάχα στον κώδικα C, πώς γίνεται ο Ευάγγελος Σταμάτης να αναφέρεται σ' αυτό από το 1973 (1973 – Αρχιμήδους Άπαντα, Τόμος Β’. Έκδ. Τεχν. Επιμελ. Ελλάδος);<br />
<br />
Μια μέρα μετά, έλαβα μια πρόσθετη πληροφορία από την φίλη μου Πόπη Αρδαβάνη, που φαίνεται να ξεδιαλύνει το "μυστήριο". Εντόπισε ένα ενδιαφέρον <a href="http://users.sch.gr/mmanol/ISTORIA/Palimpstito.pdf" target="_blank">άρθρο</a> του Μιχάλη Λάμπρου, Καθηγητή στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ο οποίος αναφέρει:<br />
<br />
<div style="text-align: left;">
"<i>Ο πρώτος ο οποίος ταύτισε το κείμενο στο παλίμψηστο με τη πατρότητα του Αρχιμήδη, ήταν ο σπουδαίος εκδότης πλήθους ελληνικών μαθηματικών έργων, Δανός λόγιος J.L. Heiberg, με επιτόπιο μελέτη του χειρογράφου, στην Κωνσταντινούπολη, το 1906. Είναι αξιοθαύμαστο πώς κατόρθωσε να αναγνώσει (όσο γίνεται) το σβησμένο κείμενο με χρήση μόνο μεγεθυντικού φακού. Δημοσίευσε τα αποτελέσματά του στο περιοδικό Hermes το 1907 και ξανά, μετά από δεύτερη επιτόπια έρευνα, το 1910-1915 ως τμήμα της περίφημης κριτικής του έκδοσης των Απάντων του Αρχιμήδους, από τον οίκο Teubner.</i>"</div>
<br />
Ο Ευάγγελος Σταμάτης αναφέρει ως πηγή του ακριβώς αυτό το έργο του Heiberg. Να περιμένουμε συνεπώς ότι με την αρτιότερη μέθοδο ανάγνωσης του έργου του Αρχιμήδη θα γνωρίσουμε το κείμενό του πληρέστερα;</div>
<h3 style="text-align: left;">
Πηγές</h3>
<ol style="text-align: left;">
<li><a href="http://www.ted.com/talks/william_noel_revealing_the_lost_codex_of_archimedes.html" target="_blank">TED - Γουίλιαμ Νόελ: Αποκαλύπτοντας τον χαμένο κώδικα του Αρχιμήδη.</a></li>
<li><a href="http://www.thedigitalwalters.org/02_ACCESS_OTHER_BOOKS.html" target="_blank">The Digital Walters - Non-Walters Books</a></li>
<li><a href="http://archimedespalimpsest.net/" target="_blank">The Digital Archimedes Palimpsest</a></li>
<li><a href="http://evangelosstamatis.wordpress.com/bibliography/" target="_blank">Ευάγγελος Σταμάτης - Βιβλία-Εκδόσεις</a></li>
<li><a href="http://www.logelium.de/Stomachion/StomachionHaupt_EN.htm" target="_blank">Stomachion</a></li>
<li><a href="http://users.sch.gr/mmanol/ISTORIA/Palimpstito.pdf" target="_blank">Μιχάλης Λάμπρου, Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη </a></li>
</ol>
</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-73090288819990241482012-08-29T12:19:00.003-07:002012-08-29T13:22:29.530-07:00Το πρώτο απλό, συμμετρικό Venn διάγγραμμα 11 συνόλων<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Τα Venn διαγράμματα είναι λίγο-πολύ γνωστά και αποτελούν έναν απλό τρόπο παράστασης των συνολοθεωρητικών σχέσεων (τομή, ένωση, υποσύνολο κλπ).<br />
<br />
Υπάρχουν όμως συμβάσεις στην παράσταση αυτή που τις αποσιωπούμε. Για παράδειγμα, το να παραστήσεις την τομή δύο συνόλων, ο αποδεκτός τρόπος να το κάνεις είναι ο παρακάτω, όπου η τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα <i>συνεκτικό</i> (ενιαίο) σχήμα.<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="http://www.nevron.com/gallery/FullGalleries/chart/Venn/images/Two-set-venn-diagram.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="http://www.nevron.com/gallery/FullGalleries/chart/Venn/images/Two-set-venn-diagram.png" width="320" /></a> </div>
Ενώ αντίθετα, το επόμενο δεν είναι αποδεκτό, ακριβώς γιατί εμφανίζεται "κομματιασμένη" η τομή. Ως εκ τούτου, το πρώτο διάγραμμα, χαρακτηρίζεται ως <i>απλό</i>.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR9aY6LkhJUuMNO38swRoKKZJBrBhHwFSjP1vvt4xwg2KmMRWXl0QBnylVmxUo6akry3TgVypF5-o_JCR1PTByCSNHMVKPhpCWACeKSz2_QKgKgTv6K1sCx3e4ysR6r4wNI1GW8ZqazgoS/s1600/two_sets.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR9aY6LkhJUuMNO38swRoKKZJBrBhHwFSjP1vvt4xwg2KmMRWXl0QBnylVmxUo6akry3TgVypF5-o_JCR1PTByCSNHMVKPhpCWACeKSz2_QKgKgTv6K1sCx3e4ysR6r4wNI1GW8ZqazgoS/s200/two_sets.png" width="200" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Πέρα από αυτό, σε ένα γενικό διάγραμμα Venn επιθυμούμε μια "πληρότητα" που σημαίνει ότι με "μια ματιά" εντοπίζουμε όλες τις δυνατές τομές. Παρατηρήστε για παράδειγμα, ότι στο επόμενο Venn διάγραμμα τριών συνόλων φαίνονται οι τομές των Α και Β (πράσινη), των Α και C (πράσινη), των Β και C (πράσινη) και των τριών συνόλων (γαλάζια):</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.nevron.com/gallery/FullGalleries/chart/Venn/images/Three-set-venn-diagram.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="http://www.nevron.com/gallery/FullGalleries/chart/Venn/images/Three-set-venn-diagram.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Το εντυπωσιακό και στα δύο απλά διαγράμματα Venn είναι ότι υπάρχει μια <i>συμμετρία</i> στο σχήμα (κεντρική συμμετρία).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Τέθηκε λοιπόν το ερώτημα: Θα μπορούσαμε να έχουμε απλά διαγράμματα Venn (που να εμφανίζονται όλες οι δυνατές τομές ως συνεκτικά σχήματα) που να είναι (κεντρικά) συμμετρικά και να αποτελούνται από περισσότερα από τρία σύνολα;</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<a name='more'></a> Η απάντηση για 4 σύνολα είναι αρνητική. Τα απλά διαγράμματα Venn με 4 σύνολα δεν είναι (κεντρικά) συμμετρικά, όπως φαίνεται και στο επόμενο σχήμα (τα σύνολα Α, Β, C και D εμφανίζονται τώρα ως ελλείψεις):<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.nevron.com/gallery/FullGalleries/chart/Venn/images/Four-set-venn-diagram.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="http://www.nevron.com/gallery/FullGalleries/chart/Venn/images/Four-set-venn-diagram.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Γενικώς, οι επιστήμονες απέδειξαν, ότι συμμετρικά, απλά διαγράμματα Venn μπορούν να υπάρξουν μονάχα όταν το πλήθος των συνόλων είναι πρώτος αριθμός, κάτι που εξηγεί γιατί για 4 σύνολα δεν έχουμε συμμετρία, ενώ για 2 και 3 έχουμε. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Η παράσταση τετοιων διαγραμμάτων για πέντε ή περισσότερα σύνολα, εξελίχθηκε σε ένα δύσκολο εγχείρημα γεωμετρίας, συνδυαστικής, αλγορίθμων. Νωρίς έγινε αντιληπτό ότι πλέον τα σύνολα δεν θα μπορούσαν να έχουν σχήμα ελλειπτικό ή κυκλικό. Θα έπρεπε να είναι αρκετά πιο πολύπλοκα, όπως απεικονίζονται στο επόμενο συμμετρικό διάγγραμμα Venn 7 συνόλων (το οποίο δεν είναι το μοναδικό):</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://webhome.cs.uvic.ca/%7Eruskey/Publications/Venn11/M11.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="317" src="http://webhome.cs.uvic.ca/%7Eruskey/Publications/Venn11/M11.png" width="320" /></a></div>
Πρόσφατα όμως, στις 27 Ιουλίου του 2012, οι ερευνητές Khalegh Mamakani και Frank Ruskey του Τμήματος Επιστήμης Υπολογιστών του Πανεπιστημίου της Βικτώριας Καναδά, δημοσίευσαν την εργασία τους σχετικά με την δημιουργία ενός απλού, συμμετρικού διαγράμματος Venn 11 συνόλων. Το ενδιαφέρον είναι ότι όχι μόνο κατέληξαν σε μια πολύ ενδιαφέρουσα απεικόνιση (το παρακάτω σχήμα), αλλά και ότι ανέπτυξαν μια ενδιαφέρουσα μέθοδο για να εντοπίσουν το σχήμα του κάθε συνόλου (με λευκό χρώμα το περίγραμμα του ενός συνόλου).<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://webhome.cs.uvic.ca/%7Eruskey/Publications/Venn11/VD_11_Filled_00.svg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="http://webhome.cs.uvic.ca/%7Eruskey/Publications/Venn11/VD_11_Filled_00.svg" width="320" /></a></div>
<h3 style="text-align: left;">
Πηγές </h3>
Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στο σχετικό σάιτ<br />
<a href="http://webhome.cs.uvic.ca/%7Eruskey/Publications/Venn11/Venn11.html" target="_blank">The First Simple Symmetric 11 -Venn Diagram</a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-72831350728737738662012-08-27T11:08:00.000-07:002012-08-27T12:32:54.306-07:00MiGen Project και DragonBox: Κάτι παραπάνω για την Άλγεβρα<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Κάθε εκπαιδευτικός θα έχει αναρωτηθεί τα εξής:<br />
<ol style="text-align: left;">
<li>Τι είναι η Άλγεβρα;</li>
<li>Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθει κάποιος Άλγεβρα;</li>
<li>Υπάρχουν λογισμικά ή άλλες δραστηριότητες που θα μπορούσαν να βοηθήσουν στην εκμάθηση της Άλγεβρας; Και τι είδους;</li>
</ol>
Λίγο-πολύ, οι "εύκολες" απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα είναι:<br />
<ol style="text-align: left;">
<li>Η Άλγεβρα είναι η επιστήμη που ασχολείται με τις δομές. Στο Δημοτικό και στο Γυμνάσιο αυτό μεταφράζεται στο ότι "γνωρίζω να κάνω πράξεις με κλάσματα, δεκαδικούς, δυνάμεις και τετραγωνικές ρίζες".</li>
<li>Μαθαίνουμε Άλγεβρα κατανοώντας τις δομές, το οποίο συμβαίνει (κατά έναν περίεργο τρόπο) με την επίλυση μεγάλου αριθμού ασκήσεων (στο χαρτί κυρίως).</li>
<li>Αυτό θα το αναλύσουμε περισσότερο: Θα παρατηρήσουμε μια στροφή από τα Computer Algebra Systems (CMS) προς το "Αλγεβρικό Παιχνίδι". </li>
</ol>
Και για να σας κεντρίσω το ενδιαφέρον, δείτε αυτήν την εικόνα και σκεφτείτε: θα μπορούσε να αποτελέσει αφορμή για την διδασκαλία της Άλγεβρας;<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://migenproject.files.wordpress.com/2011/01/picture-7.png?w=300&h=223" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://migenproject.files.wordpress.com/2011/01/picture-7.png?w=300&h=223" /></a></div>
<div>
<a name='more'></a><br />
Η απλή διαχείριση των αλγεβρικών οντοτήτων θα λέγαμε ότι μπορεί να γίνει και με τα "επαγγελματικά κομπιουτεράκια", που όχι μόνο λογαριάζουν λογαρίθμους, τριγωνομετρικούς αριθμούς, δυνάμεις, ρίζες, αλλά επίσης σχεδιάζουν και γραφήματα. Μια εξέλιξή τους, για "έτοιμες απαντήσεις", είναι οι διαδικτυακές μετά-μηχανές αναζήτησης όπως η <a href="http://www.wolframalpha.com/" target="_blank">WolframAlpha</a>. Σ' αυτήν την φιλοσοφία του άμεσου υπολογισμού, θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε επίσης ένα μεγάλο πλήθος λογισμικών.<br />
<br />
Όμως, αυτά φαίνονται καλά για όσους ήδη γνωρίζουν Άλγεβρα και δεν "λύνουν" το διδακτικό πρόβλημα της "κατανόησης των δομών".<br />
<br />
Το πρώτο βήμα για τον σχεδιασμό ενός εκπαιδευτικού λογισμικού για την κατανόηση και τον χειρισμό της έννοιας της συνάρτησης έγινε με τα λεγόμενα Computer Algbera Systems (Ψηφιακά Αλγεβρικά Συστήματα), λογισμικά με πολλαπλά παράθυρα. Ο πιο χαρακτηριστικός αντιπρόσωπος (και ίσως και το βαθύτερα παιδαγωγικό) είναι το <a href="http://www.e-yliko.gr/Lists/List40/DispForm.aspx?ID=1" target="_blank">Function Probe</a>, που βασίζεται στην φιλοσοφία ότι η έννοια της συνάρτησης είναι πολυσήμαντη, ως:<br />
<ol style="text-align: left;">
</ol>
<ul style="text-align: left;">
<li>Αντιστοιχεία τιμών (γι' αυτό υπάρχει το παράθυρο "Πίνακας")</li>
<li>Γράφημα (γι' αυτό υπάρχει το παράθυρο "Γράφημα")</li>
<li>Αλγεβρικός τύπος (γι' αυτό υπάρχει το παράθυρο της εισαγωγής ενός αλγεβρικού τύπου)</li>
<li>Διαδικασία (γι' αυτό υπάρχει η "Αριθμομηχανή" με την βασική λειτουργία της "δημιουργίας κουμπιού")</li>
</ul>
<ol style="text-align: left;">
</ol>
Όμως, πριν από τις συναρτήσεις, οι μαθητές του Δημοτικού και του Γυμνασίου έχουν πραγματικά ανάγκη να μάθουν να κάνουν σωστά πράξεις. Και φυσικά, και εκεί υπάρχουν λογισμικά εξάσκησης (drill and practice), με το πιο ενδιαφέρον από αυτά, που παρέχει και μια ήπια μορφή διασύνδεσης των μελών, να είναι το διαδικτυακό <a href="http://www.khanacademy.org/" target="_blank">Khan Academy</a>.<br />
<br />
Θα είμαι όμως αυστηρή και θα πω ότι δεν προσφέρουν πολλά περισσότερα από ένα απλό χαρτί και μολύβι. Λείπει η πρωτοτυπία, η έμπνευση.<br />
<br />
Αυτήν την έμπνευση την εντόπισα στο ερευνητικό έργο <a href="http://migenproject.wordpress.com/" target="_blank">MiGen Project</a>, που παρουσίασαν οι Hoyles και Noss στο εκπαιδευτικό συνέδριο <a href="http://ictmt10.org/" target="_blank">ICTMT 10</a>, τον Ιούλιο του 2011 στο Πόρτσμουθ. Η ιδέα ήταν να δοθεί έμφαση στην δομή, την αφαίρεση και την γενίκευση. Επανέρχομαι λοιπόν στην εικόνα με τα λουλούδια: Πώς θα την περιγράφατε; Πώς θα μετρούσατε όλα τα τετραγωνάκια που την συνθέτουν;<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://migenproject.files.wordpress.com/2011/01/picture-7.png?w=300&h=223" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://migenproject.files.wordpress.com/2011/01/picture-7.png?w=300&h=223" /></a></div>
<br />
Ίσως είδατε το προφανές: Ότι επαναλαμβάνεται ένα λουλούδι φτιαγμένο από τετράγωνα διαφόρων χρωμάτων, 6 φορές. Οπότε, συνολικά τα τετράγωνα που βλέπουμε είναι 10 φορές το 6 (10 x 6), αφού το κάθε λουλούδι αποτελείται από 10 τετράγωνα. Υπάρχει όμως και η μη-προφανής οπτική: Έχουμε ένα σχέδιο με 6 επαναλήψεις του συστήματος κοτσανιού-φύλλου του ενός λουλουδιού (5 x 6) και 6 επαναλήψεις των τεσσάρων κόκκινων πετάλων του ενός λουλουδιού (4 x 6) και 6 επαναλήψεις του κίτρινου κέντρου (6), που μας κάνει ((5 x 6) + (4 x 6)) + 6. Και αν οι επαναλήψεις ήταν n, τότε θα είχαμε αντίστοιχα ((5 x n) + (4 x n)) + n.<br />
<br />
Αρχίζουμε δηλαδή με ένα σχήμα, εκεί εντοπίζουμε μια δομή και τελικά οδηγούμαστε με αφαιρετικό τρόπο σε αλγεβρική παράσταση αριθμών.<br />
<br />
Στην ίδια φιλοσοφία κινείται και ένα ενδιαφέρον παιχνίδι Άλγεβρας, το <a href="http://dragonboxapp.com/" target="_blank">DragonBox</a>. Το παιχνίδι, που στην αρχή δεν φαίνεται να διαφέρει από ένα κοινό ηλεκτρονικό παιχνίδι, θέτει έναν και μοναδικό στόχο: Να απομονώσει ο παίκτης το "κουτί" στην μία μεριά, "εξαφανίζοντας" τις εικόνες που βρίσκονται γύρω του. Οι "εξαφανίσεις" των ανεπιθύμητων εικόνων γίνονται με διάφορους κανόνες που αντιστοιχούν σε αλγεβρικές πράξεις. Για παράδειγμα, όταν ενώσουμε μια εικόνα με το αρνητικό της, αυτές δημιουργούν την εικόνα αστέρι που με ένα "κλικ" επάνω της, αυτή εξαφανίζεται. Βλέπουμε δηλαδή την αντιστοιχία της ένωσης των εικόνων με την πράξη της πρόσθεσης, του αρνητικού της εικόνας με τον αντίθετο ενός αριθμού και της εικόνας αστέρι με το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, το μηδέν. Καθώς ο παίκτης προοδεύει στο παιχνίδι, το κουτί αντικαθίσταται με τον άγνωστο x, ενώ οι τρόποι απομόνωσής του, καλλιεργούν όλες τις δεξιότητες που απαιτούνται για τον χειρισμό αλγεβρικών παραστάσεων, όπως η απλοποίηση ενός κλάσματος, ή η επίλυση μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης.<br />
<br />
Το άρθρο <a href="http://www.wired.com/geekdad/2012/06/dragonbox/all/" target="_blank">DragonBox: Algebra Beats Angry Birds</a> είναι περισσότερο κατατοπιστικό, σας συστήνω όμως να δοκιμάσετε μια διαδικτυακή εκδοχή του παιχνιδιού που διατίθεται σε εκπαιδευτικούς, ώστε να διαμορφώσετε την δική σας άποψη: <a href="https://docs.google.com/spreadsheet/viewform?formkey=dEdsSXZ4UzBCSm1sY25GOThpTGgtZWc6MQ" target="_blank">DragonBox+ Web vergion - early access request</a><br />
<h3 style="text-align: left;">
Πηγές</h3>
<ol style="text-align: left;">
<li><a href="http://www.e-yliko.gr/Lists/List40/DispForm.aspx?ID=1" target="_blank">Function Probe</a></li>
<li><a href="http://www.wolframalpha.com/" target="_blank">WolframAlpha</a></li>
<li><a href="http://www.khanacademy.org/" target="_blank">Khan Academy</a></li>
<li><a href="http://migenproject.wordpress.com/" target="_blank">MiGen Project</a></li>
<li><a href="http://ictmt10.org/" target="_blank">ICTMT 10 </a></li>
<li><a href="http://dragonboxapp.com/" target="_blank">DragonBox</a></li>
<li><a href="http://www.wired.com/geekdad/2012/06/dragonbox/all/" target="_blank">DragonBox: Algebra Beats Angry Birds</a></li>
<li><a href="https://docs.google.com/spreadsheet/viewform?formkey=dEdsSXZ4UzBCSm1sY25GOThpTGgtZWc6MQ" target="_blank">DragonBox+ Web vergion - early access request</a></li>
</ol>
<br /></div>
</div>
Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-52365612040045580082012-06-23T12:58:00.003-07:002012-06-24T14:33:47.780-07:00Ο επίκαιρος Άλαν Τιούρινγκ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Το έτος 2012 έχει ανακυρηχθεί ως έτος Άλαν Τιούρινγκ (Alan Turing), υπενθυμίζοντάς μας πως έχουν περάσει ακριβώς εκατό χρόνια από την γέννηση του μεγάλου Μαθηματικού, στις 23 Ιουνίου 1912.<br />
Σε δύσκολους καιρούς, γεφύρωσε την επιστήμη των Μαθηματικών με την αναπτυσσόμενη Τεχνολογία, για να δώσει λύσεις σε καίρια προβλήματα της εποχής του, όπως ήταν η αποκωδικοποίηση της Γερμανικής μηχανής Enigma.<br />
Όμως, ο Άλαν Τιούρινγκ πραγματικά προκάλεσε τον επιστημονικό κόσμο με το άρθρο του "Υπολογιστικές Μηχανές και Ευφυΐα" (<a href="http://loebner.net/Prizef/TuringArticle.html" target="_blank">Computing Matchinery and Intelligence</a>): Θα μπορούσε να υπάρξει μηχανή που να "σκέφτεται"; Εκεί, αναπτύσσει τις αρχές λειτουργίας μιας υποθετικής μηχανής που προγραμματίζεται αλγοριθμικά να διαβάζει μια σειρά από 0 και 1 και στη συνέχεια την τροποποιεί, ανάλογα με τις εντολές που έχει λάβει. Πρόκειται για την γνωστή "μηχανή Άλαν Τιούρινγκ" (Alan Turing machine), τα θεμέλια των σημερινών Υπολογιστών.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.python-course.eu/images/turing_machine.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="170" src="http://www.python-course.eu/images/turing_machine.gif" width="400" /></a></div>
<br />
Ο προγραμματισμός αυτής της μηχανής είναι μια ενδιαφέρουσα άσκηση μαθηματικών και συμβολικής γλώσσας, μια δεξιότητα που θα επιθυμούσα να κατακτήσουν οι μαθητές μου. Γι' αυτό και τους ετοίμασα μια <a href="https://docs.google.com/open?id=0BzQqUddFQnQtNnRCU3RwdGJleGM" target="_blank">δραστηριότητα</a>, με την οποία μπορούν να προγραμματίσουν το <a href="http://ozark.hendrix.edu/%7Eburch/proj/autosim/" target="_blank">Automaton Simulator</a> (κατεβάστε το δωρεάν).<br />
<h3 style="text-align: left;">
Πηγές:</h3>
1. <a href="http://www.turing.org.uk/" target="_blank">Alan Turing</a>, του Andrew Hodges<br />
2. <a href="http://ozark.hendrix.edu/%7Eburch/proj/autosim/" target="_blank">Atomaton Simulator</a><br />
3. Turing, A.M. (1950). <a href="http://loebner.net/Prizef/TuringArticle.html" target="_blank">Computing machinery and inteligence</a>. Mind, 59, 433-460<br />
4. <a href="https://docs.google.com/open?id=0BzQqUddFQnQtNnRCU3RwdGJleGM" target="_blank">Η μηχανή Turing - δραστηριότητα εξοικείωσης</a>
</div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-3415096803171092232012-05-22T10:34:00.000-07:002012-05-23T12:41:58.587-07:00Η φύση σε αριθμούς<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Ένα υπέροχο βιντεάκι για τα Μαθηματικά στη φύση του Cristóbal Vila με μουσική του Wim Mertens, "Often a bird" από το άλμπουμ "Jardin Clos", 1996.<br />
Αριθμοί Fibonacci που οδηγούν στον λόγο χρυσής τομής, λογαριθμικές σπείρες στον ναυτίλο και το ηλιοτρόπιο, διαγράμματα Voronoi στα φτερά της λιβελούλας, πλακοστρώσεις με εξαγωνικά κελιά...</div>
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="http://www.youtube-nocookie.com/embed/kkGeOWYOFoA?rel=0" width="560">&lt;p&gt;&amp;amp;amp;amp;lt;p&amp;amp;amp;amp;gt;&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;lt;p&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;lt;p&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;P&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;lt;/p&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;lt;/p&amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;&amp;amp;amp;amp;lt;/p&amp;amp;amp;amp;gt;&lt;/p&gt;</iframe></div>
Πηγή: Eterea Studios, <a href="http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/intro.htm" target="_blank">Nature by Numbers</a></div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-69589403394958801622012-04-22T09:02:00.002-07:002012-04-23T08:44:21.962-07:00Ο υπερβολικός κάκτος του καφέ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Δείτε προσεκτικά το ωραίο διακοσμητικό που κρέμεται στο ταβάνι της καφετέριας.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh2eHXT-V77UrBovUwYITZkxUjXCGMRwTzElpgICk9Kw430txi3utx_cflkV_KbGOHph5VS1uSlKj70utbyYLb3xUnNMaT8mGWYlh8spA_75yefkLH-u4mjN-iRnggCnSSzemQvIzpmq0g/s1600/564193051.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh2eHXT-V77UrBovUwYITZkxUjXCGMRwTzElpgICk9Kw430txi3utx_cflkV_KbGOHph5VS1uSlKj70utbyYLb3xUnNMaT8mGWYlh8spA_75yefkLH-u4mjN-iRnggCnSSzemQvIzpmq0g/s320/564193051.jpg" width="238" /></a></div>
Τι είναι; Ίσως ένα πιο κοντινό πλάνο...<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://cache.gawkerassets.com/assets/images/4/2011/07/medium_coffeecactus.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://cache.gawkerassets.com/assets/images/4/2011/07/medium_coffeecactus.jpg" /></a></div>
Και ακόμα πιο κοντινό, για να δείτε τον τρόπο κατασκευής:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://cache.gizmodo.com/assets/images/4/2011/07/coffeecactusclose.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="180" src="http://cache.gizmodo.com/assets/images/4/2011/07/coffeecactusclose.jpg" width="320" /></a></div>
<br />
<a name='more'></a>Καλά το καταλάβατε! Είναι ξυλάκια-αναδευτήρες του καφέ ενωμένα με οδοντογλυφίδες του κοκτέιλ! Το όνομα της κατασκευής είναι "Υπερβολικός κάκτος του καφέ" και δημιουργός είναι ο γεωμέτρης καλλιτέχνης Nick Sayers. Στις κατασκευές του, που είναι όλες πολύ ασυνήθιστες, χρησιμοποιεί καθημερινά αντικείμενα. Στην συγκεκριμένη κατασκευή, χρησιμοποίησε 360 ξυλάκια-αναδευτήρες του καφέ και 1260 οδοντογλυφίδες του κοκτέίλ για συνδέσμους.<br />
<br />
Το μαθηματικό μοντέλο είναι το υπερβολικό εικοσάεδρο.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/HyperbolicIcosahedron_800.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/HyperbolicIcosahedron_800.gif" /></a></div>
Όμως, στη θέση των "μυτερών" κορυφών του έχουν τοποθετηθεί μικροί θόλοι από μισά εικοσιδωδεκάεδρα. <br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Dissected_icosidodecahedron.png/523px-Dissected_icosidodecahedron.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Dissected_icosidodecahedron.png/523px-Dissected_icosidodecahedron.png" width="173" /></a></div>
Το αποτέλεσμα είναι ο "υπερβολικός κάκτος"! Ευφάνταστος στην σύλληψή του, δύσκολος στην κατασκευή.<br />
<h3 style="text-align: left;">
Πηγές: </h3>
<a href="http://blog.makezine.com/2011/07/11/math-monday-coffee-stirrers/" target="_blank">MAKE| Math Monday: Coffee Stirrers</a> <br />
<a href="http://gizmodo.com/5820225/630-coffee-stirrers-and-1260-toothpicks-make-me-feel-woefully-inadequate" target="_blank">GIZMODO: 360 Coffee Stirrers and 1,260 Cocktail Sticks Make Me Feel Woefully Inadequate</a><br />
<a href="http://www.flickr.com/photos/nicksayers/sets/72157609022531531/detail" target="_blank">Spheres (selected) - a set on Flickr</a><br />
<a href="http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/list.html" target="_blank"> </a></div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-1577056795293014402012-04-18T10:14:00.006-07:002012-04-18T15:35:54.909-07:00"Καλή Ανάσταση" από την Σούλα με ευκλείδεια αυγά<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">Η φίλη και συνάδελφος Σούλα Σούφαρη μου έστειλε μια καταπληκτική κάρτα για τις φετινές Πασχαλινές ευχές της:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://blogs.sch.gr/athsoufari/files/2012/04/pasxa-300x173.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://blogs.sch.gr/athsoufari/files/2012/04/pasxa-300x173.png" /></a></div>Αισθητικά πανέμορφη και μαθηματικά προκλητική! Γιατί το σχήμα του αυγού έχει σχεδιαστεί με έναν απίστευτα έξυπνο τρόπο. Διαβάστε το σχετικό άρθρο στην ιστοσελίδα του Εργαστηρίου Μαθηματικών:<br />
<a href="http://mathlab.mysch.gr/filoi/egg.html" target="_blank">http://mathlab.mysch.gr/filoi/egg.html </a><br />
<br />
</div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-4707469926287077192012-04-16T06:10:00.007-07:002012-04-16T08:51:50.852-07:00Παρασκευή και 13<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><div style="text-align: left;">Φέτος η Μεγάλη Παρασκευή ήταν στις 13 Απριλίου. Δεν ξέρω πόσοι πρόσεξαν την "αποφράδα μέρα", εγώ όμως την πρόσεξα, καθώς αποτελεί ένα από τα αγαπημένα μου θέματα. Όχι το ότι η "Παρασκευή και 13" είναι αποφράδα μέρα - δεν τα πιστεύω αυτά - αλλά το πόσο συχνά αυτή εμφανίζεται στον ημερολογιακό κύκλο.<br />
<br />
Τι είναι όμως ο ημερολογιακός κύκλος; Ως γνωστό, η 13 Απριλίου από χρόνο σε χρόνο αλλάζει ημέρα, δεν είναι πάντα Παρασκευή. Όμως, αν δούμε τις ημερομηνίες και τις αντίστοιχες μέρες τους σε διάστημα 400 ετών (τόσος είναι ο ημερολογιακός κύκλος) θα διαπιστώσουμε ότι αυτές επαναλαμβάνονται αυτούσιες και την επόμενη 400-ετία και την μεθεπόμενη κ.ο.κ. Έτσι, στις 13 Απριλίου 2412 θα είναι πάλι ημέρα Παρασκευή, όπως άλλωστε ήταν και στις 13 Απριλίου 1612.<br />
<br />
Η περίοδος των 400 ετών οφείλεται σε δύο λόγους: Πρώτον στο ότι η εβδομάδα έχει 7 μέρες και δεύτερον στο ότι ορισμένα έτη από τα 400 είναι "δίσεκτα" έχουν δηλαδή 366 μέρες αντί για 365, όπως το δίσεκτο έτος 2012. Παρένθεση: τα δίσεκτα δεν είναι τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4, αλλά τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4 και δεν είναι πολλαπλάσια του 100. Από αυτά εξαιρούνται τα πολλαπλάσια του 400 που πάλι είναι δίσεκτα. Δηλαδή το 2000 ήταν δίσεκτο, όμως τα 2100, 2200 και 2300 δεν θα είναι δίσεκτα.</div><br />
<div style="text-align: left;">Ας έρθουμε τώρα στην ημέρα της Παρασκευής και 13. Αν στο διάστημα των 400 ετών συγκεντρώσουμε όλες τις "13 του μήνα", συνολικά 400*12=4800 μέρες και δούμε ποιες είναι σε κάθε ημέρα της εβδομάδας, θα διαπιστώσουμε το ακόλουθο:</div><br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<center><table border="1"><tbody>
<tr> <td style="text-align: center;">Δευτέρα</td> <td style="text-align: center;">Τρίτη</td> <td style="text-align: center;">Τετάρτη</td> <td style="text-align: center;">Πέμπτη</td> <td style="text-align: center;">Παρασκευή</td> <td style="text-align: center;">Σάββατο</td> <td style="text-align: center;">Κυριακή</td> </tr>
<tr> <td style="text-align: center;">685</td> <td style="text-align: center;">685</td> <td style="text-align: center;">687</td> <td style="text-align: center;">684</td> <td style="text-align: center;"><b>688</b></td> <td style="text-align: center;">684</td> <td style="text-align: center;">687</td> </tr>
</tbody></table></center><br />
Δηλαδή, η 13 του μήνα έχει μεγαλύτερη συχνότητα την ημέρα της Παρασκευής!<br />
Μην ανησυχείτε όμως! Τίποτα τρομερό δεν συμβαίνει. Μπορώ μάλιστα να σας διαβεβαιώσω ότι πέρασα υπέροχα την Μεγάλη Παρασκευή, κάνοντας μια όμορφη βόλτα στο αγαπημένο μου Μοναστήρι των Σαββαθιανών, μαζί με τα αδέλφια μου και τα ανήψια μου.<br />
<br />
Μόνο, που όταν τέλειωσε η βόλτα μας, αναζητούσα τα κλειδιά μου και δεν μπορούσα να τα βρω πουθενά, όσο κι αν έκανα δυο φορές πάνω-κάτω την διαδρομή Iraklio Center - σπίτι μου. Τελικά βρέθηκαν, καταχωνιασμένα στην τσάντα μου!!!</div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-80488418172115273472012-04-16T01:30:00.005-07:002012-04-16T09:07:06.020-07:00Το μπλουζάκι του Περικλή<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">Ο συνάδελφος Περικλής, καθηγητής Πληροφορικής, έχει πολύ ενδιαφέροντα μπλουζάκια από μαθηματική άποψη, το καθένα και ένα ωραίο πρόβλημα.<br />
Εκείνο το πρωινό, στάθηκα αρκετή ώρα μπροστά του, προσπαθώντας να αποκωδικοποιήσω το δέντρο με τους αριθμούς. Στην βάση ήταν η μονάδα και μετά το 2, το 4, το 8, το 16,... Υπέθεσα ότι οι αριθμοί διπλασιάζονταν. Όμως το 5 μετά το 16 μου "χαλούσε" αυτόν τον υπέροχο κανόνα. Το ίδιο συνέβαινε και μετά: ενώ ακολουθούσαν μερικά βήματα διπλασιασμού, ξαφνικά, "πέφταμε" σε μικρότερο αριθμό: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 53...<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://imgs.xkcd.com/store/imgs/collatz_shirt_front_300x300.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://imgs.xkcd.com/store/imgs/collatz_shirt_front_300x300.png" /></a></div><br />
Δεν μπορούσα να εντοπίσω κάποια σχέση. Του ζήτησα να κάνει μεταβολή να δω και την πίσω όψη της μπλούζας. Εκεί υπήρχε ένας κανόνας, που ο Περικλής ψιθύρισε πως ήταν το "σκονάκι" της γριφώδους μπλούζας του: Αν ο Ν είναι άρτιος, τότε Ν=Ν/2. Αν ο Ν είναι περιττός, τότε Ν=3Ν+1.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://imgs.xkcd.com/store/imgs/collatz_shirt_back_300x300.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://imgs.xkcd.com/store/imgs/collatz_shirt_back_300x300.png" /></a></div><br />
Τότε μόνο κατάλαβα ότι διάβαζα "ανάποδα" το δέντρο. Δεν έπρεπε να ξεκινώ από την ρίζα του, αλλά από τις πάνω άκρες των κλώνων του, που κάθεμιά φιλοξενούσε και έναν τυχαίο φυσικό αριθμό. Αν ο αριθμός ήταν άρτιος, ο αμέσως πιο κάτω ήταν το μισό του, ενώ αν ήταν περιττός, ο αμέσως πιο κάτω ήταν ο τριπλάσιός του αυξημένος κατά μια μονάδα. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται μια ακολουθία αριθμών, ο κλώνος ολόκληρος.<br />
Αλλά δεν θα είχαμε το μπλουζάκι, ούτε εγώ θα έγραφα την ανάρτηση, αν το 1937 ο Lothar Collatz δεν διατύπωνε την εικασία (εικασία Collatz) ότι με την διαδικασία αυτή, ανεξάρτητα από ποιον φυσικό αριθμό Ν ξεκινάμε, καταλήγουμε πάντα στην μονάδα, την ρίζα του δέντρου!<br />
<br />
<a name='more'></a>Πραγματικά απίστευτο! Το δοκίμασα κι εγώ με διάφορους φυσικούς αριθμούς που δεν υπήρχαν στην μπλούζα και πάντα κατέληγα στην μονάδα.<br />
Από όσα μου είπε ο Περικλής και όσα αναζήτησα στο διαδίκτυο, κατάλαβα ότι η εικασία αυτή απασχόλησε πολλούς γνωστούς μαθηματικούς, όπως τον Conway. Εντύπωση μου έκανε η δήλωση του Erdos "Τα Μαθηματικά δεν έχουν ωριμάσει αρκετά για να ασχολούνται με τέτοια προβλήματα", ο οποίος μάλιστα προσέφερε το έπαθλο των $500 σε όποιον το λύσει.<br />
Το 2007 οι ερευνητές Kurtz και Simon, αξιοποιώντας δουλειά του Conway, απέδειξαν ότι η φυσική γενίκευση του προβλήματος Collatz, είναι πρόβλημα αλγοριθμικά μη αποφασίσιμο.<br />
<h3 style="text-align: left;">Πηγές:</h3><ol style="text-align: left;"><li><a href="http://store.xkcd.com/xkcd/#CollatzConjecture" target="_blank">xkcd store, Collatz Conjecture</a></li>
<li><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture" target="_blank">Collatz conjecture, Wikipedia</a></li>
</ol><br />
</div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-63676462630747130632012-01-26T12:29:00.001-08:002012-01-26T13:10:39.839-08:00Το GeoGebra 4.0 ενσωματώνεται με ευκολία<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on"><applet archive="geogebra.jar" code="geogebra.GeoGebraApplet" codebase="http://www.geogebra.org/webstart/4.0/unsigned/" height="559" name="ggbApplet" width="577"> <param name="ggbBase64" value="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" /><param name="image" value="http://www.geogebra.org/webstart/loading.gif" /><param name="boxborder" value="false" /><param name="centerimage" value="true" /><param name="java_arguments" value="-Xmx512m -Djnlp.packEnabled=true" /><param name="cache_archive" value="geogebra.jar, geogebra_main.jar, geogebra_gui.jar, geogebra_cas.jar, geogebra_algos.jar, geogebra_export.jar, geogebra_javascript.jar, jlatexmath.jar, jlm_greek.jar, jlm_cyrillic.jar, geogebra_properties.jar" /><param name="cache_version" value="4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0, 4.0.20.0" /><param name="showResetIcon" value="true" /><param name="showAnimationButton" value="true" /><param name="enableRightClick" value="true" /><param name="errorDialogsActive" value="true" /><param name="enableLabelDrags" value="true" /><param name="showMenuBar" value="false" /><param name="showToolBar" value="false" /><param name="showToolBarHelp" value="false" /><param name="showAlgebraInput" value="false" /><param name="useBrowserForJS" value="true" /><param name="allowRescaling" value="true" /></applet><br />
<br />
Η διαδικασία ενσωμάτωσης του GeoGebra 4.0 σε ιστοσελίδες έχει γίνει πολύ απλή:<br />
<ul style="text-align: left;"><li>Μόλις ολοκληρώσετε την κατασκευή σας επιλέξτε "Αρχείο > Εξαγωγή > Δυναμικό Φύλλο εργασίας ως ιστοσελίδα (html)"</li>
<li>Επιλέξτε το "Εξαγωγή ως Ιστοσελίδα" και την καρτέλα "Προχωρημένες"</li>
<li>Τσεκάρετε το κουτάκι "Αφαίρεση Αλλαγών Γραμμής" και από το αναπτυσσόμενο μενού κάτω δεξιά επιλέξτε "Μνήμη: Moodle" και κάντε κλικ στο "Μνήμη" που εμφανίζεται</li>
<li>Στη συνέχεια, δημιουργήστε μια ανάρτηση στον Blogger και στην καρτέλα "Επεξεργασία HTML" με Ctrl+V αντιγράψτε τον κώδικα. Δημοσιεύστε και τελειώσατε!</li>
</ul>Εντυπωσιακό το γεγονός ότι <i>δεν ανεβάζετε πουθενά κάποιο αρχείο ggb</i>.<br />
<br />
Σχολιάζοντας το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που δημοσιεύσαμε, ας πούμε μόνο, ότι τελικά, ίσως πρέπει να κοπεί το παραλληλόγραμμο σε πάρα πολλά κομμάτια για να δημιουργηθεί με την αναδιάταξή τους ένα ορθογώνιο με την ίδια βάση (που μπορεί να είναι η μικρότερη πλευρά του παραλληλογράμμου).</div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-28045171900701155402011-11-16T15:12:00.000-08:002011-11-17T05:05:40.437-08:00Μετρήστε καλά: 12 ή 13 πολεμιστές;<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">Ο Sam Loyd (1841-1911) υπήρξε ένας από τους δημοφιλέστερους εμπνευστές προβλημάτων και αινιγμάτων στην ιστορία των Ηνωμένων Πολιτειών.<br />
Παρακάτω, είναι ίσως η πιο διάσημη γεωμετρική σπαζοκεφαλιά που ποτέ επινοήθηκε. Το "Get Off the Earth": Μετρήστε τους πολεμιστές, πριν και μετά το "κλικ" στην Γη. Πόσοι είναι; <br />
<br />
<center><embed align="middle" allowscriptaccess="always" height="550" pluginspage="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" quality="high" src="http://alexbellos.com/wp-content/uploads/2010/03/numberland.swf" type="application/x-shockwave-flash" width="550"></embed></center><br />
<b>Πηγές: </b><br />
1. Alex Bellos, Puzzles, "<a href="http://alexbellos.com/?page_id=865" target="_blank">Get Off the Earth</a>"<br />
2. Sam Loyd Official Site, "<a href="http://www.samuelloyd.com/characters/get-off-the-earth-puzzle/" target="_blank">Get Off the Earth</a>"<br />
3. MAA, Math Games: "<a href="http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_01_03_05.html" target="_blank">The Sam Loyd Cyclopedea of Puzzles</a>"</div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-44931624478844794932011-10-20T05:44:00.000-07:002011-10-27T05:48:04.114-07:00Μέτρηση επιφάνειας με... σουγιά<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">Από νωρίς οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν το εμβαδόν απλών γεωμετρικών σχημάτων, όπως παραλληλογράμμων, τραπεζίων, κύκλων. Το πέρασμα από τα πολύγωνα στον κύκλο φαίνεται δυσκολούτσικο, όμως αξίζει τον κόπο, καθώς η μαθηματική ιδέα της "εξάντλησης" που υποβόσκει, αποτελεί τη βάση για την έννοια του ολοκληρώματος και τον υπολογισμό του εμβαδού αρκετά πολύπλοκων σχημάτων.<br />
<br />
Δυστυχώς, ο πραγματικός κόσμος περιλαμβάνει ακόμα πιο πολύπλοκα σχήματα από αυτά που μελετάμε στη Γεωμετρία ή την Ανάλυση του Λυκείου. Τότε, τι γίνεται με τις μετρήσεις; Την επιφάνεια μιας λίμνης την προσεγγίζουμε με άπειρα τετραγωνάκια ή μήπως κάπως αλλιώς;<br />
<br />
Δείτε το ακόλουθο βίντεο: Προβάλει ένα επιπεδόμετρο (planimeter), ειδικό όργανο για τη μέτρηση επιφάνειας. Παρατηρήστε ότι καθώς η βελόνα του κινείται περιμετρικά στο σχήμα, ο κυκλικός μετρητής επιφάνειας αλλάζει φορά, για να αφαιρέσει το επιπλέον εμβαδόν. Ίσως να μας παραπλανά αυτή η λειτουργία και να σχηματίζουμε την εντύπωση ότι το όργανο υπολογίζει την εξίσωση της καμπύλης (περίγραμμα σχήματος) και έπειτα το ολοκλήρωμά της. Όμως, ως ένας απλός χειροκίνητος μηχανισμός από βραχίονες και γρανάζια, δεν κάνει υπολογισμούς! Στηρίζεται μονάχα στη Μηχανική και τη Γεωμετρία.<br />
<div style="text-align: center;"><br />
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="360" src="http://www.youtube.com/embed/jpVYEpi-fDk?rel=0" width="480"></iframe></div><br />
<a name='more'></a>Η κατασκευή του οργάνου είναι μάλλον δύσκολη, γι' αυτό και ο Holger Prytz το 1875 σκέφτηκε κάτι πιο απλό και οικονομικό, όπως βλέπετε στην παρακάτω εικόνα ή στο βίντεο από το "<a href="http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/howroundcom/planimeter/index.html" target="blank">How round is your circle? Area and bent coat hanger</a>", που παραθέτουμε επίσης. <br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://persweb.wabash.edu/facstaff/footer/Planimeter/Prytz/pictures/prytz.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://persweb.wabash.edu/facstaff/footer/Planimeter/Prytz/pictures/prytz.gif" /></a></div><br />
<div style="text-align: center;"><object classid="CLSID:6BF52A52-394A-11d3-B153-00C04F79FAA6" height="288" id="VIDEO" standby="Loading Microsoft Windows Media Player components..." type="application/x-oleobject" viewastext="" width="384"> <param name="URL" VALUE="http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/howroundcom/planimeter/video/AreaYorkshire.wmv"><param name="TransparentAtStart" Value="true"><param name="AutoStart" Value="false"><param name="ShowControls" Value="true"><param name="ShowStatusBar" Value="false"><param name="SendPlayStateChangeEvents" VALUE="True"><param name="autoSize" Value="true"><param name="uiMode" value="full"><embed type="application/x-mplayer2"
pluginspage="http://www.microsoft.com/Windows/MediaPlayer/"
src="http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/howroundcom/planimeter/video/AreaYorkshire.wmv"
Name=MediaPlayer1
Width=384
Height=288
transparentAtStart=1
autostart=0
animationAtStart=1
ShowControls=1
ShowStatusBar=0
autoSize=1
displaySize=1> </embed> </object></div><br />
Το πλεονέκτημα με το επιπεδόμετρο Prytz είναι ότι μπορεί να κατασκευαστεί με απλά μέσα. Εκτός κι αν έχετε έναν σουγιά που τότε δεν χρειάζεται να κατασκευάσετε τίποτα, όπως φαίνεται στην 10η εικόνα του "<a href="http://members.tripod.com/rick_oleson/planimeter.pdf" target="blank">The pleasures of mathematics</a>" που παραθέτουμε και εδώ:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgib5o6P4eGv-Ayx9T4E0t_-k_IuOSC4myJL1zfSujlYYcAWyfUWGuTOCfXpT4cBqdLtalC8y7z57ey-VZncm-teJy5e0g5cfQazy-_jBmU03zMlM0E12WDafi5Zy3qCiZhTLqmSJ4JwOv2/s1600/jackknife.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgib5o6P4eGv-Ayx9T4E0t_-k_IuOSC4myJL1zfSujlYYcAWyfUWGuTOCfXpT4cBqdLtalC8y7z57ey-VZncm-teJy5e0g5cfQazy-_jBmU03zMlM0E12WDafi5Zy3qCiZhTLqmSJ4JwOv2/s320/jackknife.png" width="320" /></a></div><br />
Διαβάστε περισσότερα στους επόμενους συνδέσμους:<br />
1. <a href="http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/howroundcom/planimeter/index.html" target="blank">How round is your circle? Area and bent coat hanger.</a><br />
2. <a href="http://members.tripod.com/rick_oleson/planimeter.pdf" target="blank">The pleasures of mathematics</a><br />
3. <a href="http://persweb.wabash.edu/facstaff/footer/Planimeter/PLANIMETER.HTM" target="blank">Planimeters </a><br />
4. <a href="http://whistleralley.com/planimeter/planimeter.htm" target="blank">Wistley Alley Mathematics, The Planimeter</a><br />
5. <a href="http://www.digparty.com/wiki/Planimeter" target="blank">Learn and talk about Planimeter, Dimensional instruments, Mathematical tools, Measuring instruments, Technical drawing</a></div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-46009337112068313112011-10-19T08:06:00.000-07:002011-12-21T11:07:39.222-08:00Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική στην Τεχνολογία<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">Ίσως για πολλούς η χαρτοδιπλωτική είναι παιδική ασχολία, ή στην καλύτερη περίπτωση ένα δημιουργικό καλλιτεχνικό χόμπι.<br />
<br />
Όμως, όπως αναφέρει ο Dr. Robert Lang στο παρακάτω βίντεο, τα Μαθηματικά που κρύβει η χαρτοδιπλωτική είναι πολύτιμα για την Τεχνολογία. Ο κλάδος αυτός καλείται "Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική" και αντικείμενό του είναι η συρρίκνωση του όγκου κάποιων κατασκευών, όπως ο αερόσακος στο αυτοκίνητο, το κάτοπτρο ενός τηλεσκοπίου, ένα ενέσιμο εμφύτευμα που θα πρέπει να απλωθεί στον οργανισμό μετά την είσοδό του, σώζοντας έτσι ζωές! Η ιδέα της εξοικονόμησης του χώρου μέσω της "Υπολογιστικής Χαρτοδιπλωτικής" εκτείνεται και στην νανοτεχνολογία: επιστήμονας στο Carltech ασχολείται με νανοδιπλώσεις, χρησιμοποιώντας DNA.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><object height="374" width="526"> <param name="movie" value="http://video.ted.com/assets/player/swf/EmbedPlayer.swf"></param><param name="allowFullScreen" value="true" /><param name="allowScriptAccess" value="always"/><param name="wmode" value="transparent"></param><param name="bgColor" value="#ffffff"></param><param name="flashvars" value="vu=http://video.ted.com/talk/stream/2008/Blank/RobertLang_2008-320k.mp4&su=http://images.ted.com/images/ted/tedindex/embed-posters/RobertLang-2008.embed_thumbnail.jpg&vw=512&vh=288&ap=0&ti=321&lang=en&introDuration=15330&adDuration=4000&postAdDuration=830&adKeys=talk=robert_lang_folds_way_new_origami;year=2008;theme=inspired_by_nature;theme=art_unusual;theme=tales_of_invention;event=TED2008;tag=Design;tag=art;tag=engineering;tag=math;tag=origami;tag=space;&preAdTag=tconf.ted/embed;tile=1;sz=512x288;" /><embed src="http://video.ted.com/assets/player/swf/EmbedPlayer.swf" pluginspace="http://www.macromedia.com/go/getflashplayer" type="application/x-shockwave-flash" wmode="transparent" bgColor="#ffffff" width="526" height="374" allowFullScreen="true" allowScriptAccess="always" flashvars="vu=http://video.ted.com/talk/stream/2008/Blank/RobertLang_2008-320k.mp4&su=http://images.ted.com/images/ted/tedindex/embed-posters/RobertLang-2008.embed_thumbnail.jpg&vw=512&vh=288&ap=0&ti=321&lang=en&introDuration=15330&adDuration=4000&postAdDuration=830&adKeys=talk=robert_lang_folds_way_new_origami;year=2008;theme=inspired_by_nature;theme=art_unusual;theme=tales_of_invention;event=TED2008;tag=Design;tag=art;tag=engineering;tag=math;tag=origami;tag=space;&preAdTag=tconf.ted/embed;tile=1;sz=512x288;"></embed> </object></div><br />
<br />
<div style="text-align: left;">Σε κάποια άλλη ομιλία του, στο "Wired Science", ο Dr. Lang αναφέρει το εξής εντυπωσιακό, που αποδίδει την δυσκολία αυτών των κατασκευών: "<i>Υπάρχει μια επιστήμη που μετράει τη δυσκολία και πολυπλοκότητα ενός προβλήματος, κατατάσσει την χαρτοδιπλωτική στα "NP complete" προβλήματα, δηλαδή τα πολύ-πολύ δύσκολα</i>":</div><br />
<i>There is a study of complexity in math that rates the difficulty of certain problem. Some problems are polynomial time, which is another way of saying "not too hard" and there are problems called NP complete, which are very-very hard! And both, packing laguage and folding up an origami crease patern, are NP complete problems; very-very hard!</i><br />
<br />
Πηγή: <a href="http://www.ted.com/talks/lang/en/robert_lang_folds_way_new_origami.html" target="_blank">Robert Lang folds way-new origami</a> (TED ideas worth spreading)<br />
<a href="http://www.pbs.org/kcet/wiredscience/video/141-origami_master.html" target="_blank">Wired Science: Origami Master</a></div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-9211991264823036565.post-44233038746828692232011-10-19T07:34:00.000-07:002011-10-19T14:09:26.684-07:00Ποιο είναι το σχήμα ενός τροχού;<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">Μη βιαστείτε να απαντήσετε σ' αυτήν την ερώτηση! Δείτε προσεκτικά την εικόνα παρακάτω. Οι τροχοί δεν είναι καθόλου κυκλικοί! Φυσικά αναρωτιέστε: "αυτό το ποδήλατο κινείται ομαλά στο οδόστρωμα, ή μήπως όχι;" <br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="http://images.china.cn/attachement/jpg/site1007/20090507/001109b42f980b6cb83515.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="281" src="http://images.china.cn/attachement/jpg/site1007/20090507/001109b42f980b6cb83515.jpg" width="400" /></a></div>Το "κλειδί" είναι τα περίεργα σχήματα των τροχών. Τι ιδιότητες έχουν; Πολύ απλά, είναι σχήματα σταθερού πλάτους. Ειδικότερα, τα εικονιζόμενα ονομάζονται πολύγωνα Ρελώ (Reuleaux). Δείτε πόσο όμορφα κυλάει το τρίγωνο Ρελώ:<br />
<br />
<applet align="MIDDLE" archive="jsp5.jar" code="GSP.class" codebase="http://whistleralley.com/reuleaux/" height="301" width="560"><param name="MinGrammarVersion" value="2" /><param name="PixelsPerLengthUnit" value="1" /><param name="BackRed" value="255" /><param name="BackGreen" value="255" /><param name="BackBlue" value="255" /><param name="Construction" value="
{1} Point(336,53)[hidden];
{2} Translation(1,6.12323e-015,100)[hidden];
{3} Line(2,1)[hidden];
{4} Point(75,266)[hidden];
{5} Translation(4,100,0)[hidden];
{6} Line(5,4)[black];
{7} Point(300,124)[hidden];
{8} Translation(7,100,0)[hidden];
{9} Ray(8,7)[hidden];
{10} Point on object(9,0.74)[hidden];
{11} Segment(10,7)[hidden];
{12} Translation(1,1.04744e-012,-100)[hidden];
{13} Ray(12,1)[hidden];
{14} Point on object(13,0.4)[hidden];
{15} Circle(1,14)[color(0,128,0)];
{16} Point on object(15,1.36104)[label('σύρε'),red];
{17} Ray(16,1)[hidden];
{18} Distance(10,7,131,75,'')[hidden];
{19} Translation/FixedAngle/MarkedDistance(1,18,-1.5708)[hidden];
{20} Distance(19,1,131,-12,'')[hidden];
{21} Ray(19,1)[hidden];
{22} Circle(1,19)[hidden];
{23} Intersect2(17,22)[hidden];
{24} Ray(23,1)[hidden];
{25} Intersect2(3,22)[hidden];
{26} Angle(25,1,23,-41,-13,'')[hidden];
{27} Calculate(-42,40,'','A 1 / 3.14159 + ')(26)[hidden];
{28} Calculate(131,75,'','0 A - 1 * ')(27)[hidden];
{29} Calculate(325,92,'','A 2 3.14159 * 3 / - @sgn_ 1 + @sgn_ ')(27)[hidden];
{30} Calculate(325,50,'','A 4 3.14159 * 3 / - @sgn_ 1 + @sgn_ ')(27)[hidden];
{31} Calculate(292,589,'','A A 2 3.14159 * 3 / / @trnc 2 3.14159 * 3 / * - 1 * ')(27)[hidden];
{32} Rotation/MeasuredAngle(21,1,31)[hidden];
{33} Intersect2(32,22)[hidden];
{34} Circle(25,1)[hidden];
{35} Intersect1(34,22)[hidden];
{36} Distance(35,19,-42,127,'')[hidden];
{37} Translation/FixedAngle/MarkedDistance(6,36,1.5708)[black];
{38} Dilation/MarkedRatio(35,19,30)[hidden];
{39} Circle(35,19)[hidden];
{40} Intersect2(34,22)[hidden];
{41} Dilation/MarkedRatio(38,40,29)[hidden];
{42} Ray(1,41)[hidden];
{43} Circle(40,19)[hidden];
{44} Intersect2(32,43)[hidden];
{45} Dilation/3PtRatio(23,1,1,33,44)[hidden];
{46} Circle(41,45)[hidden];
{47} Intersect2(42,46)[hidden];
{48} Angle(1,41,45,387,142,'')[hidden];
{49} Calculate(387,188,'','A 1 / @abs_ 3.14159 12 / - @sgn_ 1 + @sgn_ ')(48)[hidden];
{50} Calculate(387,165,'','2 A * ')(48)[hidden];
{51} Calculate(387,208,'','A B @sgn_ * 3.14159 * 6 / 1 A - C * + ')(49,48,50)[hidden];
{52} Calculate(131,8,'','A B C + 3.14159 * 3 / 3.14159 6 / + D 1 / + * ')(36,30,29,51)[hidden];
{53} Translation/FixedAngle/MarkedDistance(4,52,0)[hidden];
{54} Rotation/MeasuredAngle(47,41,51)[hidden];
{55} VectorTranslation(1,54,53)[hidden];
{56} Rotation/MeasuredAngle(55,53,28)[white];
{57} VectorTranslation(35,54,53)[hidden];
{58} Rotation/MeasuredAngle(57,53,28)[hidden];
{59} VectorTranslation(19,54,53)[hidden];
{60} Rotation/MeasuredAngle(59,53,28)[hidden];
{61} Circle(60,58)[hidden];
{62} VectorTranslation(40,54,53)[hidden];
{63} Rotation/MeasuredAngle(62,53,28)[hidden];
{64} Circle(58,63)[hidden];
{65} Circle(63,60)[hidden];
{66} Segment(45,1)[hidden];
{67} Circle(19,40)[hidden];
{68} AnimateButton(37,7,'Εκτέλεση')(16,15)(3)(0)(1)[black];
{69} Segment(58,60)[hidden];
{70} Point on object(69,0.223112)[hidden];
{71} Ray(70,63)[hidden];
{72} Intersect2(71,65)[hidden];
{73} Rotation(72,56,2.0944)[hidden];
{74} Rotation(73,56,2.0944)[hidden];
{75} Locus(74,70,69,500)[blue,mediumLine];
{76} Locus(73,70,69,500)[blue,mediumLine];
{77} Locus(72,70,69,500)[blue,mediumLine];
{78} Calculate(-42,85,'','3.14159 3.14159 A - @abs_ - 0.001 - @sgn_ 0.5 + @sgn_ @sqrt ')(27)[hidden];
{79} Dilation/MarkedRatio(56,4,78)[hidden];
{80} Locus(79,16,15,500)[color(128,0,0),hidden];
{81} ShowButton(37,48,'Εμφάνισε τον γεωμετρικό τόπο')(80)[black];
{82} HideButton(37,72,'Κρύψε τον γεωμετρικό τόπο')(80)[black];
" /><img height="174" src="http://whistleralley.com/reuleaux/level%20road.gif" width="430" /><br />
<br />
Please install <a href="http://www.sun.com/getjava">Java</a> (version 1.4 or later) to use JavaSketchpad applets.</applet><br />
<br />
Οι εφαρμογές των σχημάτων σταθερού πλάτους είναι πολλές στη Μηχανική. Στη δεύτερη πηγή που παραθέτουμε, υπάρχουν μερικές ενδεικτικές.<br />
<br />
<b>Πηγές:</b><br />
1. <a href="http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm" target="blank">Reuleaux Triangle, Wilstler Alley Mathematics</a><br />
2. <a href="http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/howroundcom/roundness/applications.html" target="blank">How round is your circle? Applications of shapes of constant width</a><br />
3. <a href="http://www.china.org.cn/china/photos/2009-05/07/content_17738257.htm" target="blank">multi-angle-wheel bicycly, china.org.cn </a><br />
4. <a href="http://kalamari.gr/resources/templates/kalamari/files/hmerida/design/poulos.pdf" target="blank">Πούλος Ανδρέας, Εφαρμογές της Γεωμετρίας στην Τεχνολογία και την καθημερινή ζωή</a></div>Ειρήνη Πhttp://www.blogger.com/profile/15840925497388174744noreply@blogger.com0