Ο επίκαιρος Άλαν Τιούρινγκ

Το έτος 2012 έχει ανακυρηχθεί ως έτος Άλαν Τιούρινγκ (Alan Turing), υπενθυμίζοντάς μας πως έχουν περάσει ακριβώς εκατό χρόνια από την γέννηση του μεγάλου Μαθηματικού, στις 23 Ιουνίου 1912.
Σε δύσκολους καιρούς, γεφύρωσε την επιστήμη των Μαθηματικών με την αναπτυσσόμενη Τεχνολογία, για να δώσει λύσεις σε καίρια προβλήματα της εποχής του, όπως ήταν η αποκωδικοποίηση της Γερμανικής μηχανής Enigma.
Όμως, ο Άλαν Τιούρινγκ πραγματικά προκάλεσε τον επιστημονικό κόσμο με το άρθρο του "Υπολογιστικές Μηχανές και Ευφυΐα" (Computing Matchinery and Intelligence): Θα μπορούσε να υπάρξει μηχανή που να "σκέφτεται"; Εκεί, αναπτύσσει τις αρχές λειτουργίας μιας υποθετικής μηχανής που προγραμματίζεται αλγοριθμικά να διαβάζει μια σειρά από 0 και 1 και στη συνέχεια την τροποποιεί, ανάλογα με τις εντολές που έχει λάβει. Πρόκειται για την γνωστή "μηχανή Άλαν Τιούρινγκ" (Alan Turing machine), τα θεμέλια των σημερινών Υπολογιστών.

Ο προγραμματισμός αυτής της μηχανής είναι μια ενδιαφέρουσα άσκηση μαθηματικών και συμβολικής γλώσσας, μια δεξιότητα που θα επιθυμούσα να κατακτήσουν οι μαθητές μου. Γι' αυτό και τους ετοίμασα μια δραστηριότητα, με την οποία μπορούν να προγραμματίσουν το Automaton Simulator (κατεβάστε το δωρεάν).

Πηγές:

1. Alan Turing, του Andrew Hodges
2. Atomaton Simulator
3. Turing, A.M. (1950). Computing machinery and inteligence. Mind, 59, 433-460
4. Η μηχανή Turing - δραστηριότητα εξοικείωσης

Τα Μαθηματικά στον Κινηματογράφο

Μια πολύ ενδιαφέρουσα σελίδα στον ιστότοπο του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ έχει θεματική τα Μαθηματικά στον Κινηματογράφο. Πρωταγωνιστές, όχι μόνο οι Μαθηματικοί Επιστήμονες, αλλά και τα ίδια τα Μαθηματικά. Παραθέτω δύο φιλμάκια:

Το πρώτο, από την γνωστή "Επιπεδοχώρα" (Flatland), απόδοση σε κινούμενα σχέδια της ομώνυμης νουβέλας του Edwin Abbott Abbott, 1884. Στο απόσπασμα παρακολουθούμε τον επαγωγικό λογισμό του τετραγώνου: "Εφόσον οι δυνάμεις των αριθμών μπορούν να μεταφραστούν σε διαστάσεις, τότε, ίσως να υπάρχει και η 4η διάσταση...".

Ο προβληματισμός έντονος για μια πραγματικότητα γύρω μας που οι αισθήσεις μας αδυνατούν να συλλάβουν. Μια άλλη εκδοχή της "αλληγορίας του σπηλαίου" του Πλάτωνα.

Η δεύτερη ταινία είναι χιουμοριστική, ένας ποδοσφαιρικός αγώνας Ελλάδας - Γερμανίας με ξεχωριστούς παίκτες!

Πηγή: http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/

Η "λογική" του Αριστοτέλη

Μία καινούρια λέξη που εμφανίζεται στα φετινά βιβλία της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου, είναι η λέξη "λογική".

Η "Λογική" ως κλάδος των Μαθηματικών, αναπτύχθηκε πολύ πρόσφατα, τα τέλη του 19ου αιώνα. Όμως, τα λογικά παράδοξα φαίνεται πως ήταν ένα από τα αγαπημένα θέματα της αρχαιότητας. Αλλά και οι "κοινές έννοιες" του Ευκλείδη, είναι αληθείς προτάσεις σε ένα αξιωματικό σύστημα.

Σήμερα αναγνωρίζουμε πως τα θεμέλια της λογικής τα έθεσε ο Αριστοτέλης, όπως αναφέρεται χαρακτηριστικά και στο κείμενο εδώ (σελ. 3 και εξής) από την Εστία Επιστημών Πάτρας.

Για να πάρουμε όμως μια γεύση της λογικής του Αριστοτέλη, θα δώσω τον λόγο στον ειδικό, τον συνάδελφο Βαγγέλη Σπηλιωτάκη. Σε σχόλιό του στο άρθρο μου "Ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας για τη γνώση" έγραψε ένα κείμενο, βαθύ και επιστημονικά τεκμηριωμένο, αλλά με τρόπο απλό, ώστε να γίνεται κατανοητό από όλους και κυρίως εμένα. Τον ευχαριστώ ιδιαίτερα και για το κείμενο, αλλά και για συγκατάθεσή του σ' αυτήν την δημοσίευση.

"....
Αναφορικά με τον Αριστοτέλη και την θεωρία του για την γνώση, τα τελευταία χρόνια οι περισσότεροι υποστηρίζουν ότι εντάσσεται στην παράδοση της ορθολογικότητας μάλλον παρά του εμπειρισμού.

Αυτό γιατί -όπως το καταλαβαίνω εγώ- ακολουθεί την παράδοση που θεωρεί ότι τα φαινόμενα έχουν αιτίες που δεν ανήκουν στον κόσμο των φαινομένων. Σωστά αναπτύσσει το θέμα της η μεταπτυχιακή που παραπέμπεις για τον τρόπο που σχηματίζονται οι γενικές έννοιες, με βάση την επανάληψη της ίδιας παράστασης ενός αντικειμένου και με την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν προϋπάρχουσες έννοιες στον νου όπως δέχεται ο Πλάτωνας .

Παράλληλα όμως θεωρεί ότι οι αιτίες των φαινομένων και οι αρχές της επιστήμης μας γίνονται οικείες και κατανοητές με τη λογική ανάλυση. Παράδειγμα ο ορισμός του συνεχούς: "συνεχές είναι το μέγεθος που μπορεί να διαιρείται σε πάντοτε διαιρετά μέρη" γιατί δεν αποτελείται από άτομα μέρη.

Για τούτο πολέμησε την ατομική θεωρία του Δημόκριτου γιατί δεχόταν την πεπερασμένη διαιρετότητα της ύλης μέχρι το άτομο.

Στον ορισμό αυτό κατέληξε όχι με βάση την κοινή εμπειρία για την πεπερασμένη διαιρετότητα της ύλης αφού κανείς μας δεν έχει εμπειρία άπειρης διαιρετότητας αλλά με βάση την λογική επεξεργασία των παραδόξων του Ζήνωνα για τα παράδοξα που θα προκύπτουν από την παραδοχή της πεπερασμένης διαιρετότητας των μεγεθών. Χρησιμοποιεί συνεχώς την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο για να καταλήξει στον ορισμό. Αυτά αναπτύσσονται στο βιβλίο Ε της φυσικής του που έχει σαν θέμα του μόνο την έννοια του συνεχούς.

Με λίγα λόγια αποδέχεται την άπειρη διαιρετότητα των μεγεθών και της ύλης γιατί εκεί τον οδηγεί η λογική ανάλυση αν και δεν έχουμε καμιά εμπειρία για αυτό.

Επίσης πρέπει να λάβουμε υπόψιν μας ότι στον όρο εμπειρία ο Αριστοτέλη εντάσσει και την γνώση που αποκτούμε από την μελέτη άλλων θεωριών με την έννοια ότι δεν ξέραμε κάτι και το μάθαμε και από την επεξεργασία αυτής της γνώσης μπορούν να προκύπτουν νέα δεδομένα. Σε κάποιο χωρίο γράφει ότι άλλη εμπειρία του τριγώνου έχει αυτός που ξέρει ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι 180 μοίρες και άλλη αυτός που δεν το ξέρει. Θεωρεί δηλαδή ότι η προϋπάρχουσα γνώση επιδρά και διαμορφώνει ακόμα και αυτό που βλέπουμε γιατί στο αντικείμενο βλέπουμε και αυτά που ξέρουμε για το αντικείμενο.

Αυτά σκέφθηκα σαν μια πρώτη προσέγγιση σε ένα θέμα που απασχόλησε πολύ την αρχαία σκέψη και συνεπώς και την νεώτερη αφού μας γίνεται ολοένα και περισσότερο κατανοητό ότι οι καταστατικές αρχές του δυτικού πολιτισμού έχουν τεθεί εκεί. Αρκεί να σκεφτούμε από μαθηματικής σκοπιάς το ρόλο που έπαιξε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου και η μέθοδος της εξάντλησης στην ανάπτυξη των μαθηματικών."

Ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας για τη γνώση

Είναι πραγματικά συγκλονιστικό το απόσπασμα "της αλληγορίας του Σπηλαίου" από την "Πολιτεία" του Πλάτωνα. Οι άνθρωποι εκεί, γνωρίζουν μονάχα τις σκιές των αντικειμένων και όχι τα ίδια τα αντικείμενα. Ουσιαστικά, η αλήθεια τους είναι η ψευδαίσθηση που έχουν δημιουργήσει με τις περιορισμένες αισθήσεις τους. Πώς θα αντιδρούσε κάποιος αν ξαφνικά απελευθερωνόταν από τα δεσμά του και μπορούσε να αντικρύσει κατάματα τον κόσμο στις πραγματικές του διαστάσεις; Δεν θα ένιωθε χαρά, ευγνωμοσύνη, αλλά και χρέος να διαφωτίσει τους ανθρώπους της σπηλιάς ακόμα και αν εκείνοι τον απορρίψουν ή στραφούν εναντίον του;

Αυτή η ωραία ιστορία, εκτυλίσσεται στο παρακάτω βιντεάκι.



Ο Πλάτωνας, με την "αλληγορία του Σπηλαίου", αφενός θέλησε να υποδείξει πως η αλήθεια μπορεί να υπερβαίνει το φαινόμενο και το αισθητό και αφετέρου να τονίσει τον ύψιστο σκοπό ενός διαφωτιστή, να θυσιάσει ακόμα και την ζωή του προκειμένου να εκπληρώσει το διαφωτιστικό του έργο.

Θα ήθελα όμως να εστιάσω στο πώς ο διαφωτιστής έγινε μέτοχος της "αλήθειας". Στην πραγματικότητα, δεν ακολούθησε διαφορετική διαδικασία μάθησης πριν και μετά την απελευθέρωσή του.  Με τις αισθήσεις του πλανεύτηκε, αλλά και με τις αισθήσεις του πληροφορήθηκε για την "αντικειμενική αλήθεια" του περιβάλλοντος κόσμου. Αυτό που άλλαξε, ήταν η οπτική του και η θέση του. Επομένως, αν θελήσει να μυήσει επιτυχώς και τους άλλους δεσμώτες στην "αντικειμενική αλήθεια" θα πρέπει να τροφοδοτήσει την εμπειρία τους με την "άλλη οπτική" του "πραγματικού κόσμου", τραβώντας τους έξω από την σπηλιά. Αλλιώς ποιο το νόημα μιας τέτοιας διδασκαλίας;

Ο Αριστοτέλης, έρχεται να τονίσει, όχι τόσο το τι είναι αληθές, αλλά το πώς μέσα από τις εμπειρίες μας δομούμε την γνώση μας. Συνεπώς, αυτά τα δύο δεν είναι ανεξάρτητα. Κατά τον Αριστοτέλη, "Η επίδραση της αίσθησης δημιουργεί αισθητές εικόνες, οι οποίες με τη σειρά τους προκαλούν την ενεργοποίηση του πνεύματος και τη δημιουργία εννοιών. Η απόκτηση της γνώσης, παρουσιάζεται ως μια συνολική διαδικασία την οποία θα αποκαλούσαμε νοητική διαδικασία, όπου γίνεται κατανοητή από την ανάλυση της σημασίας του ορισμού της ψυχής και η οποία, έτσι όπως αναπτύσσεται, έχει ως αφετηρία τη γέννηση μέσα στη συνείδηση αισθητών αναπαραστάσεων και συμβαδίζει με τη νόηση, από την οποία εμφανίζονται οι νοητικές αναπαραστάσεις ή έννοιες." (από την περίληψη της "Εμπειρίας και γνώσης στον Αριστοτέλη" της Ζαρβαδά Κυριακής)

Οι σύγχρονες θεωρίες μάθησης, φαίνεται να κατανοούν όλο και περισσότερο την αξία της εμπειρίας για την γνώση. Αλλά και οι θετικές επιστήμες, βασίζουν τις θεωρίες τους σε αντικειμενικές παρατηρήσεις και λογικές διαδικασίες. Και όμως, η "αντικειμενική αλήθεια" μοιάζει με άπιαστο στόχο. Έτσι, μέχρι χθες, τόσο για τον απελευθερωμένο δεσμώτη της σπηλιάς, όσο και για εμάς, ο Ήλιος ήταν ένας αψεγάδιαστος φωτεινός δίσκος, αθάνατος, με δύναμη θεότητας. Σήμερα γνωρίζουμε τις "ατέλειές" του, την πηγή της δύναμής του, το πεπερασμένο του. Αύριο, θα ξέρουμε πολύ περισσότερα και η γνώση μας θα εκτίνεται στον χώρο και τον χρόνο.

Όσο όμως εμβαθύνουμε, τόσο τα ερωτηματικά αυξάνουν. Έτσι, το τίμημα της φυσικής μας περιέργειας είναι το "εν οίδα ότι ουδέν οίδα" του Σωκράτη... Ίσως λοιπόν σήμερα να μοιάζουμε με τους δεσμώτες στην σπηλιά του Πλάτωνα, με τη διαφορά ότι έχουμε κάνει μια σημαντική πρόοδο: γνωρίζουμε την άγνοιά μας.

Πηγές:
1) Αρχαία ελληνικά κείμενα: Η σπηλιά του Πλάτωνα http://arxaiakeimena.blogspot.com/2009/03/blog-post_17.html
2) Εμπειρία και γνώση στον Αριστοτέλη: http://invenio.lib.auth.gr/record/113671