Τετάρτη 6 Νοεμβρίου 2013
Τετάρτη 13 Φεβρουαρίου 2013
Μια μαθημαγική παρουσίαση από τον Benjamin Arthur
Ο μαθημάγος Benjamin Arthur, γοήτευσε το κοινό του σε πρόσφατη ομιλία του στην Αθήνα. Παρακολουθήστε την στο Blod.
Δείτε και την ομιλία του στον TED:
Δείτε και την ομιλία του στον TED:
Πηγές
Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2013
Ιστορία αγάπης στην "Κλεπτοπία"
Δύο ερωτευμένοι, ο Ίαν και η Μαρία, ζουν σε χωριστές πόλεις της Κλεπτοπίας. Ο Ίαν θέλει να στείλει ένα δαχτυλίδι στην αγαπημένη του Μαρία ως αρραβώνα, αλλά γνωρίζει πως θα πρέπει να το στείλει σε κουτί που να κλείνει με λουκέτο, διαφορετικά θα το κλέψουν οι κάτοικοι της Κλεπτοπίας. Τόσο ο Ίαν, όσο και η Μαρίά, διαθέτουν πάρα πολλά κουτιά που κλείνουν με λουκέτα και φυσικά, πάρα πολλά λουκέτα. Όμως κανένας δεν έχει ένα κλειδί που να ανοίγει κάποιο από τα λουκέτα του άλλου. Πώς θα αποστείλει ο Ίαν το δαχτυλίδι στα χέρια της Μαρίας με ασφάλεια;
Αυτό το πρόβλημα το έθεσε η Caroline Calderbank, η νεαρή κόρη των Μαθηματικών Ingrid Daubechies και Rob Calderbank. Η λύση που επινόησε ήταν η εξής: Παραλαμβάνοντας το σφραγισμένο κουτί με το δαχτυλίδι, η Μαρία φυσικά δεν μπορεί να το ανοίξει, αλλά εύκολα προσθέτει ένα δικό της λουκέτο στο ίδιο πέρασμα που βρίσκεται και το λουκέτο του Ίαν (υποθέτουμε ότι αυτό είναι αρκετά μεγάλο για τα δυο λουκέτα). Το πακέτο με τα δυο λουκέτα το στέλνει πίσω στον Ίαν ο οποίος αφαιρεί το δικό του (το άλλο και να θέλει να το αφαιρέσει δεν μπορεί). Ταχυδρομεί εκ νέου το κουτί στη Μαρία, που είναι πάλι σφραγισμένο, αλλά αυτή τη φορά με το δικό της λουκέτο το οποίο μπορεί να ξεκλειδώσει.
Όπως παρατηρεί ο Peter Winkler, η μέθοδος αυτή είναι λίγο-πολύ ίδια με την μέθοδο αποκρυπτογράφισης των μηνυμάτων. Στο άρθρο του (δείτε την πηγή) προτείνει και μια δεύτερη λύση με λιγότερες αποστολές: Ο Ίαν τοποθετεί το δαχτυλίδι σε κουτί και το σφραγίζει με ένα λουκέτο που το κλειδί του έχει μια μεγάλη τρύπα (ή τουλάχιστον υπάρχει χώρος να σχηματιστεί με τρυπάνι μια μεγάλη τρύπα). Η τρύπα αυτή χρειάζεται για να περαστεί το κλειδί σε ένα λουκέτο που σφραγίζει ένα άδειο κουτί, το οποίο ταχυδρομεί πρώτα στη Μαρία. Όταν βεβαιωθεί ότι η Μαρία παρέλαβε το άδειο κουτί (π.χ. με κάποιο μέιλ) τότε στέλνει και το κουτί με το δαχτυλίδι, που τώρα μπορεί να το ανοίξει η Μαρία, εφόσον παρέλαβε το κλειδί του στην προηγούμενη ταχυδρομική αποστολή. (το κλειδί, θυμηθείτε, δεν είναι μέσα στο κουτί αλλά περασμένο στο λουκέτο)
Ένα δικό μου σχόλιο, λίγο άσχετο... Μου κάνει εντύπωση που χρησιμοποιήθηκε η ελληνική λέξη "Kleptopia"!
Αυτό το πρόβλημα το έθεσε η Caroline Calderbank, η νεαρή κόρη των Μαθηματικών Ingrid Daubechies και Rob Calderbank. Η λύση που επινόησε ήταν η εξής: Παραλαμβάνοντας το σφραγισμένο κουτί με το δαχτυλίδι, η Μαρία φυσικά δεν μπορεί να το ανοίξει, αλλά εύκολα προσθέτει ένα δικό της λουκέτο στο ίδιο πέρασμα που βρίσκεται και το λουκέτο του Ίαν (υποθέτουμε ότι αυτό είναι αρκετά μεγάλο για τα δυο λουκέτα). Το πακέτο με τα δυο λουκέτα το στέλνει πίσω στον Ίαν ο οποίος αφαιρεί το δικό του (το άλλο και να θέλει να το αφαιρέσει δεν μπορεί). Ταχυδρομεί εκ νέου το κουτί στη Μαρία, που είναι πάλι σφραγισμένο, αλλά αυτή τη φορά με το δικό της λουκέτο το οποίο μπορεί να ξεκλειδώσει.
Όπως παρατηρεί ο Peter Winkler, η μέθοδος αυτή είναι λίγο-πολύ ίδια με την μέθοδο αποκρυπτογράφισης των μηνυμάτων. Στο άρθρο του (δείτε την πηγή) προτείνει και μια δεύτερη λύση με λιγότερες αποστολές: Ο Ίαν τοποθετεί το δαχτυλίδι σε κουτί και το σφραγίζει με ένα λουκέτο που το κλειδί του έχει μια μεγάλη τρύπα (ή τουλάχιστον υπάρχει χώρος να σχηματιστεί με τρυπάνι μια μεγάλη τρύπα). Η τρύπα αυτή χρειάζεται για να περαστεί το κλειδί σε ένα λουκέτο που σφραγίζει ένα άδειο κουτί, το οποίο ταχυδρομεί πρώτα στη Μαρία. Όταν βεβαιωθεί ότι η Μαρία παρέλαβε το άδειο κουτί (π.χ. με κάποιο μέιλ) τότε στέλνει και το κουτί με το δαχτυλίδι, που τώρα μπορεί να το ανοίξει η Μαρία, εφόσον παρέλαβε το κλειδί του στην προηγούμενη ταχυδρομική αποστολή. (το κλειδί, θυμηθείτε, δεν είναι μέσα στο κουτί αλλά περασμένο στο λουκέτο)
Ένα δικό μου σχόλιο, λίγο άσχετο... Μου κάνει εντύπωση που χρησιμοποιήθηκε η ελληνική λέξη "Kleptopia"!
Πηγή
Seven puzzles you think you must not have heard correctly with solutions, Peter WinklerΣάββατο 29 Δεκεμβρίου 2012
Το μαγικό τετράγωνο του Dürer
Ο πίνακας παρακάτω είναι γνωστός ως "MELENCOLIA I" του δεινού καλλιτέχνη Albrecht Dürer, γερμανικής καταγωγής. Αξίζει να κάνετε κλικ επάνω του για να τον δείτε σε μεγέθυνση και να εστιάσετε σε μερικές λεπτομέρειες...
Και πρώτα απ' όλα, παρατηρήστε το 4×4 αριθμητικό τετράγωνο επάνω δεξιά:
Τι ιδιαίτερο έχει αυτό το τετράγωνο; Είναι όπως λέμε μαγικό, καθώς το άθροισμα των αριθμών κάθε στήλης, κάθε γραμμής, και των δύο διαγωνίων είναι σταθερά ίσο με 34. Αυτό είναι επακόλουθο της εξής εντυπωσιακής ιδιότητας: Κάθε ζεύγος αριθμών συμμετρικό ως προς το κέντρο του τετραγώνου, έχει άθροισμα 17 (π.χ. 5+12=17, 10+7=17, 16+1=17).
Επιπλέον, οι αριθμοί που βρίσκονται στα επόμενα πέντε τετράγωνα διαστάσων 2×2, πάλι έχουν άθροισμα 34:
Οι μελετητές του έργου εντοπίζουν τα εξής ενδιαφέροντα στοιχεία: οι αριθμοί 15 και 14 στην τελευταία γραμμή σχηματίζουν την χρονολογία δημιουργίας του πίνακα, δηλαδή το 1514. Επίσης, οι αριθμοί 4 και 1 πριν και μετά από αυτούς αντιστοιχούν στα γερμανικά γράμματα D και Α, που είναι τα αρχικά του ονόματος του καλλιτέχνη.
Τέλος, αινιγματικό παραμένει το ποιο στερεό απεικονίζει ο ογκόλιθος στο βάθος.
Ο Albrecht Dürer, εκτός από καλλιτέχνης, υπήρξε και Μαθηματικός Ερευνητής. Μερικές από τις διατριβές του αφορούν κατασκευές των κωνικών τομών, της σπείρας του Αρχιμήδη, μελέτη των κανονικών πολυγώνων, των Πλατωνικών και Αρχιμήδειων στερεών, καθώς και της κατασκευής των γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου με κανόνα και διαβήτη.
Επιπλέον, οι αριθμοί που βρίσκονται στα επόμενα πέντε τετράγωνα διαστάσων 2×2, πάλι έχουν άθροισμα 34:
Τέλος, αινιγματικό παραμένει το ποιο στερεό απεικονίζει ο ογκόλιθος στο βάθος.
Ο Albrecht Dürer, εκτός από καλλιτέχνης, υπήρξε και Μαθηματικός Ερευνητής. Μερικές από τις διατριβές του αφορούν κατασκευές των κωνικών τομών, της σπείρας του Αρχιμήδη, μελέτη των κανονικών πολυγώνων, των Πλατωνικών και Αρχιμήδειων στερεών, καθώς και της κατασκευής των γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου με κανόνα και διαβήτη.
Πηγές
Σάββατο 3 Νοεμβρίου 2012
Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη
Τι είναι το "παλίμψηστο του Αρχιμήδη"; Πόσο εύκολη ή δύσκολη ήταν η ανάγνωσή του; Τι καινούριο εντόπισαν οι επιστήμονες στα έργα του Αρχιμήδη; Το επόμενο βιντεάκι απαντά σύντομα σε όλες αυτές τις ερωτήσεις.
Πάντως, μου δημιουργήθηκε η εξής απορία από το βίντεο: Ενώ φαίνεται πως η ανάγνωση των έργων του Αρχιμήδη στον κώδικα C έγινε μετά το 1999 και πως το "Στομάχιον" του Αρχιμήδη ήταν ένα έργο που εμφανίστηκε μονάχα στον κώδικα C, πώς γίνεται ο Ευάγγελος Σταμάτης να αναφέρεται σ' αυτό από το 1973 (1973 – Αρχιμήδους Άπαντα, Τόμος Β’. Έκδ. Τεχν. Επιμελ. Ελλάδος);
Μια μέρα μετά, έλαβα μια πρόσθετη πληροφορία από την φίλη μου Πόπη Αρδαβάνη, που φαίνεται να ξεδιαλύνει το "μυστήριο". Εντόπισε ένα ενδιαφέρον άρθρο του Μιχάλη Λάμπρου, Καθηγητή στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ο οποίος αναφέρει:
Ο Ευάγγελος Σταμάτης αναφέρει ως πηγή του ακριβώς αυτό το έργο του Heiberg. Να περιμένουμε συνεπώς ότι με την αρτιότερη μέθοδο ανάγνωσης του έργου του Αρχιμήδη θα γνωρίσουμε το κείμενό του πληρέστερα;
Μια μέρα μετά, έλαβα μια πρόσθετη πληροφορία από την φίλη μου Πόπη Αρδαβάνη, που φαίνεται να ξεδιαλύνει το "μυστήριο". Εντόπισε ένα ενδιαφέρον άρθρο του Μιχάλη Λάμπρου, Καθηγητή στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ο οποίος αναφέρει:
"Ο πρώτος ο οποίος ταύτισε το κείμενο στο παλίμψηστο με τη πατρότητα του Αρχιμήδη, ήταν ο σπουδαίος εκδότης πλήθους ελληνικών μαθηματικών έργων, Δανός λόγιος J.L. Heiberg, με επιτόπιο μελέτη του χειρογράφου, στην Κωνσταντινούπολη, το 1906. Είναι αξιοθαύμαστο πώς κατόρθωσε να αναγνώσει (όσο γίνεται) το σβησμένο κείμενο με χρήση μόνο μεγεθυντικού φακού. Δημοσίευσε τα αποτελέσματά του στο περιοδικό Hermes το 1907 και ξανά, μετά από δεύτερη επιτόπια έρευνα, το 1910-1915 ως τμήμα της περίφημης κριτικής του έκδοσης των Απάντων του Αρχιμήδους, από τον οίκο Teubner."
Ο Ευάγγελος Σταμάτης αναφέρει ως πηγή του ακριβώς αυτό το έργο του Heiberg. Να περιμένουμε συνεπώς ότι με την αρτιότερη μέθοδο ανάγνωσης του έργου του Αρχιμήδη θα γνωρίσουμε το κείμενό του πληρέστερα;
Πηγές
Τετάρτη 29 Αυγούστου 2012
Το πρώτο απλό, συμμετρικό Venn διάγγραμμα 11 συνόλων
Τα Venn διαγράμματα είναι λίγο-πολύ γνωστά και αποτελούν έναν απλό τρόπο παράστασης των συνολοθεωρητικών σχέσεων (τομή, ένωση, υποσύνολο κλπ).
Υπάρχουν όμως συμβάσεις στην παράσταση αυτή που τις αποσιωπούμε. Για παράδειγμα, το να παραστήσεις την τομή δύο συνόλων, ο αποδεκτός τρόπος να το κάνεις είναι ο παρακάτω, όπου η τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα συνεκτικό (ενιαίο) σχήμα.
Ενώ αντίθετα, το επόμενο δεν είναι αποδεκτό, ακριβώς γιατί εμφανίζεται "κομματιασμένη" η τομή. Ως εκ τούτου, το πρώτο διάγραμμα, χαρακτηρίζεται ως απλό.
Υπάρχουν όμως συμβάσεις στην παράσταση αυτή που τις αποσιωπούμε. Για παράδειγμα, το να παραστήσεις την τομή δύο συνόλων, ο αποδεκτός τρόπος να το κάνεις είναι ο παρακάτω, όπου η τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα συνεκτικό (ενιαίο) σχήμα.
Πέρα από αυτό, σε ένα γενικό διάγραμμα Venn επιθυμούμε μια "πληρότητα" που σημαίνει ότι με "μια ματιά" εντοπίζουμε όλες τις δυνατές τομές. Παρατηρήστε για παράδειγμα, ότι στο επόμενο Venn διάγραμμα τριών συνόλων φαίνονται οι τομές των Α και Β (πράσινη), των Α και C (πράσινη), των Β και C (πράσινη) και των τριών συνόλων (γαλάζια):
Το εντυπωσιακό και στα δύο απλά διαγράμματα Venn είναι ότι υπάρχει μια συμμετρία στο σχήμα (κεντρική συμμετρία).
Τέθηκε λοιπόν το ερώτημα: Θα μπορούσαμε να έχουμε απλά διαγράμματα Venn (που να εμφανίζονται όλες οι δυνατές τομές ως συνεκτικά σχήματα) που να είναι (κεντρικά) συμμετρικά και να αποτελούνται από περισσότερα από τρία σύνολα;
Δευτέρα 27 Αυγούστου 2012
MiGen Project και DragonBox: Κάτι παραπάνω για την Άλγεβρα
Κάθε εκπαιδευτικός θα έχει αναρωτηθεί τα εξής:
- Τι είναι η Άλγεβρα;
- Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθει κάποιος Άλγεβρα;
- Υπάρχουν λογισμικά ή άλλες δραστηριότητες που θα μπορούσαν να βοηθήσουν στην εκμάθηση της Άλγεβρας; Και τι είδους;
- Η Άλγεβρα είναι η επιστήμη που ασχολείται με τις δομές. Στο Δημοτικό και στο Γυμνάσιο αυτό μεταφράζεται στο ότι "γνωρίζω να κάνω πράξεις με κλάσματα, δεκαδικούς, δυνάμεις και τετραγωνικές ρίζες".
- Μαθαίνουμε Άλγεβρα κατανοώντας τις δομές, το οποίο συμβαίνει (κατά έναν περίεργο τρόπο) με την επίλυση μεγάλου αριθμού ασκήσεων (στο χαρτί κυρίως).
- Αυτό θα το αναλύσουμε περισσότερο: Θα παρατηρήσουμε μια στροφή από τα Computer Algebra Systems (CMS) προς το "Αλγεβρικό Παιχνίδι".
