Σάββατο, 20 Αυγούστου 2011

Η μελωδία των μαθηματικών

Θα θέλατε να μάθετε ποια μουσική παράγουν τα ψηφία του αριθμού π; Ή ποια είναι η μουσική μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης; Δεν έχετε παρά να επισκεφθείτε την ιστοσελίδα "The Sound of Mathematics" του ReoCities.

Όπως πληροφορορεί ο ίδιος ο συγγραφέας Daniel Cummerow, η μουσική βασίζεται τόσο στα Μαθηματικά, όσο και στις ανθρώπινες προτιμήσεις. Δείτε για παράδειγμα, πόσο μελωδικός είναι ο αριθμός π, κάνοντας κλικ εδώ.

Άθελά μου, παραλληλίζω αυτό το έργο με την σύλληψη του Πυθαγόρα να αναζητήσει μαθηματικές σχέσεις σε εναρμόνιους ήχους, αλλά και αντίστροφα, να εντοπίζει αρμονία και μελωδία σε ορισμένους λόγους αριθμών. Για τους Πυθαγόρειους ήταν τόσο στενή η σχέση αριθμών και μουσικής που το θεωρούσαν προφανές οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών να έχουν αρμονικούς λόγους, παράγοντας έτσι στο σύνολό τους μια μελωδία, την "μουσική των σφαιρών". Την ιδέα τους υιοθέτησαν ο Πλάτωνας και ο Κέπλερ για το κοσμικό τους μοντέλο. Ακόμα και η NASA δεν έμεινε ανεπηρέαστη, όπως μπορείτε να δείτε εδώ, καθώς και πολλοί άλλοι..


Πηγές:
The Sound of Mathematics, ReoCities
Pythagoras & Music of the Spheres (Geometry in Art & Architecture, Dartmouth College)
Music of the Spheres, University of California Observatories

Τρίτη, 16 Αυγούστου 2011

Από το παιχνίδι της ζωής του Conway σε ένα νέο είδος μουσικής

Σαν τι θα μπορούσε να είναι αυτό το "παιχνίδι της ζωής"; Πρόκειται για έμπνευση του John Conway, μαθηματικού στο Cambridge University και αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα για το πώς δημιουργείται ένα χαοτικό φαινόμενο, με απρόβλεπτη εξέλιξη, που όμως βασίζεται σε λίγους, πολύ απλούς κανόνες.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα επίπεδο, χωρισμένο σε τετράγωνα, όπου άλλα κελιά είναι "ζωντανά", ενώ άλλα είναι κενά-χωρίς ζωή. Έτσι έχουμε μια εικόνα όπως παρακάτω, με τα μαύρα κελιά να αντιπροσωπεύουν τα "ζωντανά" κελιά.
Όπως βλέπετε, κάθε κελί γειτονεύει με ακριβώς άλλα 8, τα οποία είτε είναι άδεια, είτε είναι "ζωντανά". Ας βάλουμε τώρα λίγους, απλούς κανόνες που καθορίζουν το πότε γεννιέται ένα νέο μέλος (στα άδεια τετράγωνα) ή πότε πεθαίνει κάποιο ζωντανό:
  1. Κάθε ζωντανό κελί με έναν ή κανέναν ζωντανό γείτονα θα πεθαίνει στην επόμενη γενεά, ως απομονωμένο.
  2. Κάθε ζωντανό κελί με δύο ή τρεις ζωντανούς γείτονες θα παραμένει ζωντανό και στην επόμενη γενεά.
  3. Κάθε ζωντανό κελί με περισσότερους από τρεις γείτονες θα πεθαίνει στην επόμενη γενεά, λόγω ανταγωνισμού-υπερπληθυσμού.
  4. Αν υπάρχει ένα κενό κελί με ακριβώς τρεις γείτονες τότε στην επόμενη γενεά θα γεννιέται εκεί ένα νέο μέλος.
Αν και λίγοι οι κανόνες, είναι συνήθως πολύ δύσκολο να προβλέψει κανείς την τύχη ενός πληθυσμού, αν θα αυξηθεί ή αν τελικά εξαλειφθεί. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι πληθυσμοί που παρουσιάζουν σταθερότητα ή περιοδικότητα. Παρακάτω βλέπετε έναν περιοδικό πληθυσμό. Μπορείτε να αναζητήσετε και άλλους, αν πειραματιστείτε με την java εφαρμογή εδώ, αλλά και να "πειράξετε" την εκπληκτική τους ισορροπία, προσθέτοντας ή αφαιρώντας έστω και ένα ζωντανό κελί.
Το παιχνίδι αυτό απέδειξε τη διαχρονική του αξία, καθώς αποτέλεσε την απαρχή για τα λεγόμενα cellular automata, υπολογιστικά μοντέλα που μελετώνται από πολλές επιστήμες, όπως φυσική, χημεία, βιολογία. Δείτε εδώ μερικά "ζωντανά".

Αυτό όμως που δεν μπορούσαμε να φανταστούμε ήταν η συμβολή τους σε ένα νέο είδος ηλεκτρονικής μουσικής.  Πολλές εφαρμογές, όπως το WolframTones ή το Otomata, μάς δίνουν την ευκαιρία να συνθέσουμε την δική μας μουσική. Τα cellular automata λοιπόν, μας χαρίζουν θέαμα, ήχο, δημιουργικότητα!


Πηγές:
1. John Conway's Came of Life http://www.bitstorm.org/gameoflife/
2. Martin Gardner, The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game "life", Scientific American 223 (October 1970): 120-123.
3. WolframTones  http://tones.wolfram.com/
4. Broadcasting International Television http://britv.com/tag/cellular-automata/


Κυριακή, 14 Αυγούστου 2011

Μεταλλαγμένα προϊόντα: μια μαθηματική αποκάλυψη


Πολύς ο λόγος για τα μεταλλαγμένα προϊόντα. Δημιουργήματα της Γενετικής, με αρκετούς οπαδούς - κυρίως εταιρείες τροφίμων - που υποστηρίζουν ότι αποτελούν την λύση στη μείωση των φυτοφαρμάκων και στην ολοένα αυξανόμενη ανάγκη για τρόφιμα.

Όμως, κανένας λογικά σκεπτόμενος δεν μπορεί να τα αποδεχθεί, πριν πειστεί ότι θα είναι ασφαλή για τον εαυτό του, αλλά και για την εξέλιξη της ζωής στη Γη. Γιατί αν ο προορισμός τους είναι να "δίνουν ζωή", αυτό θα πρέπει να έχει βάθος χρόνου και να μην σταματά στο "τώρα", πολύ μάλλον, να μην δρουν καταστροφικά στο μέλλον.

Η επιστήμη λοιπόν θα δώσει τις απαντήσεις που χρειάζεται η ανθρωπότητα. Προς αυτήν την κατεύθυνση εργάστηκαν και οι βιολόγοι William M.Muir του Perdue University και Richard D. Howard του University of Michigan: Χρησιμοποίησαν το μικροσκοπικό ψάρι oryzias latipes που έχει μικρό κύκλο αναπαραγωγής για να μελετήσουν το μοντέλο εξέλιξης ενός ανάμικτου πληθυσμού γενετικά μεταλλαγμένων ψαριών και φυσικών. Το μαθηματικό μοντέλο προέβλεψε κάτι εντελώς ασύλληπτο: ακόμα και όταν τα μεταλλαγμένα ψάρια αποτελούσαν ένα μικρό μέρος του συνολικού πληθυσμού, τελικά θα εξαλείφονταν και οι δύο πληθυσμοί!

Σάββατο, 6 Αυγούστου 2011

Η εξέλιξη του τροχού και η δημιουργία νέων μορφών ζωής

Κανείς δεν αμφισβητεί την τεράστια σημασία της ανακάλυψης του τροχού. Εδώ και 5000 χρόνια θεωρείται μία από τις κορυφαίες.

Όμως, ο Ολλανδός κινητικός γλύπτης Theo Jansen έχει να αντιπροτείνει κάτι πιο πρακτικό από τον τροχό για την κίνηση σε δύσβατα σημεία, όπως σε μια παραλία. Κάτι, που μιμείται το περπάτημα. Στο επόμενο βίντεο αναπαριστάνεται ο μηχανισμός του, με το λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας The Geometer's Sketchpad. Αρχικά, εμφανίζεται ένα μπροστινό και ένα πίσω πόδι. Όταν προστεθεί μία ακόμα σειρά από μπροστινό και πίσω πόδι, το "τετράποδο" ευσταθεί, καθώς κάθε φορά στηρίζεται σε δύο πόδια. Έτσι πραγματικά κινείται!


Αυτό όμως ήταν μόνο η αρχή για να γεννηθούν νέες μορφές ζωής. Όντα, που όχι μόνο κινούνται, αλλά αισθάνονται, αναπαράγονται, έχουν το αίσθημα της αυτοσυντήρησης, κάνουν απλούς συλλογισμούς και ζουν με... αέρα! Απολαύστε τα!


Δευτέρα, 1 Αυγούστου 2011

Στερεά εκ περιστροφής και αγγειοπλαστική

Surface of revolution illustration
Rotationskoerper animation

Ένα ενδιαφέρον θέμα της στερεομετρίας είναι τα στερεά εκ περιστροφής: Παίρνουμε μια επίπεδη καμπύλη και την περιστρέφουμε κατά 360ο γύρω από έναν άξονα (ευθεία) που βρίσκεται στο επίπεδό της. Το αποτέλεσμα, όπως βλέπετε στα σχέδια, είναι ένα στερεό που η τομή του με ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής είναι κύκλος. Με άλλα λόγια, το στερεό αποτελείται από άπειρους κύκλους, διαφόρων μεγεθών, στιβαγμένους ο ένας πάνω στον άλλον, έτσι ώστε τα κέντρα τους να είναι σε άξονα κάθετο του επιπέδου τους.

Ο τρόπος δημιουργίας τους που μαρτυρείται από  το όνομά τους, δηλαδή με περιστροφή, θυμίζει πάρα πολύ τον τρόπο που οι αγγειοπλάστες κατασκευάζουν τα αγγεία τους. Ο πηλός περιστρέφεται επάνω στον τροχό. Καθώς δέχεται συμμετρικά πιέσεις στην επιφάνειά του από τα σχεδόν ακίνητα χέρια του αγγειοπλάστη, "ανοίγει" και "κλείνει" παίρνοντας το καμπύλο σχήμα ενός αγγείου.

Και θα σταματούσα εδώ, αν η παράδοση της αγγειοπλαστικής τέχνης στην Κρήτη και ειδικότερα στις Μαργαρίτες δεν είχε να προσφέρει πολλά στα μαθηματικά και την μηχανική.