Σάββατο, 29 Δεκεμβρίου 2012

Το μαγικό τετράγωνο του Dürer

Ο πίνακας παρακάτω είναι γνωστός ως "MELENCOLIA I" του δεινού καλλιτέχνη Albrecht Dürer, γερμανικής καταγωγής. Αξίζει να κάνετε κλικ επάνω του για να τον δείτε σε μεγέθυνση και να εστιάσετε σε μερικές λεπτομέρειες...

Και πρώτα απ' όλα, παρατηρήστε το 4×4 αριθμητικό τετράγωνο επάνω δεξιά:

Τι ιδιαίτερο έχει αυτό το τετράγωνο; Είναι όπως λέμε μαγικό, καθώς το άθροισμα των αριθμών κάθε στήλης, κάθε γραμμής, και των δύο διαγωνίων είναι σταθερά ίσο με 34. Αυτό είναι επακόλουθο της εξής εντυπωσιακής ιδιότητας: Κάθε ζεύγος αριθμών συμμετρικό ως προς το κέντρο του τετραγώνου, έχει άθροισμα 17 (π.χ. 5+12=17, 10+7=17, 16+1=17).
Επιπλέον, οι αριθμοί που βρίσκονται στα επόμενα πέντε τετράγωνα διαστάσων 2×2, πάλι έχουν άθροισμα 34:
Οι μελετητές του έργου εντοπίζουν τα εξής ενδιαφέροντα στοιχεία: οι αριθμοί 15 και 14 στην τελευταία γραμμή σχηματίζουν την χρονολογία δημιουργίας του πίνακα, δηλαδή το 1514. Επίσης, οι αριθμοί 4 και 1 πριν και μετά από αυτούς αντιστοιχούν στα γερμανικά γράμματα D και Α, που είναι τα αρχικά του ονόματος του καλλιτέχνη.
Τέλος, αινιγματικό παραμένει το ποιο στερεό απεικονίζει ο ογκόλιθος στο βάθος.

Ο Albrecht Dürer, εκτός από καλλιτέχνης, υπήρξε και Μαθηματικός Ερευνητής. Μερικές από τις διατριβές του αφορούν κατασκευές των κωνικών τομών, της σπείρας του Αρχιμήδη, μελέτη των κανονικών πολυγώνων, των Πλατωνικών και Αρχιμήδειων στερεών, καθώς και της κατασκευής των γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου με κανόνα και διαβήτη.

Πηγές

  1. Dürer’s Magic Square, Cardano’s Rings, Prince Rupert’s Cube, and Other Neat Things, V. Frederick Rickey
  2. Dürer's Magic Square -- from Wolfram MathWorld

Σάββατο, 3 Νοεμβρίου 2012

Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη

Τι είναι το "παλίμψηστο του Αρχιμήδη"; Πόσο εύκολη ή δύσκολη ήταν η ανάγνωσή του; Τι καινούριο εντόπισαν οι επιστήμονες στα έργα του Αρχιμήδη; Το επόμενο βιντεάκι απαντά σύντομα σε όλες αυτές τις ερωτήσεις.


Πάντως, μου δημιουργήθηκε η εξής απορία από το βίντεο: Ενώ φαίνεται πως η ανάγνωση των έργων του Αρχιμήδη στον κώδικα C έγινε μετά το 1999 και πως το "Στομάχιον" του Αρχιμήδη ήταν ένα έργο που εμφανίστηκε μονάχα στον κώδικα C, πώς γίνεται ο Ευάγγελος Σταμάτης να αναφέρεται σ' αυτό από το 1973 (1973 – Αρχιμήδους Άπαντα, Τόμος Β’. Έκδ. Τεχν. Επιμελ. Ελλάδος);

Μια μέρα μετά, έλαβα μια πρόσθετη πληροφορία από την φίλη μου Πόπη Αρδαβάνη, που φαίνεται να ξεδιαλύνει το "μυστήριο". Εντόπισε ένα ενδιαφέρον άρθρο του Μιχάλη Λάμπρου, Καθηγητή στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ο οποίος αναφέρει:

"Ο πρώτος ο οποίος ταύτισε το κείμενο στο παλίμψηστο με τη πατρότητα του Αρχιμήδη, ήταν ο σπουδαίος εκδότης πλήθους ελληνικών μαθηματικών έργων, Δανός λόγιος J.L. Heiberg, με επιτόπιο μελέτη του χειρογράφου, στην Κωνσταντινούπολη, το 1906. Είναι αξιοθαύμαστο πώς κατόρθωσε να αναγνώσει (όσο γίνεται) το σβησμένο κείμενο με χρήση μόνο μεγεθυντικού φακού. Δημοσίευσε τα αποτελέσματά του στο περιοδικό Hermes το 1907 και ξανά, μετά από δεύτερη επιτόπια έρευνα, το 1910-1915 ως τμήμα της περίφημης κριτικής του έκδοσης των Απάντων του Αρχιμήδους, από τον οίκο Teubner."

Ο Ευάγγελος Σταμάτης αναφέρει  ως πηγή του ακριβώς αυτό το έργο του Heiberg. Να περιμένουμε συνεπώς ότι με την αρτιότερη μέθοδο ανάγνωσης του έργου του Αρχιμήδη θα γνωρίσουμε το κείμενό του πληρέστερα;

Πηγές

  1. TED - Γουίλιαμ Νόελ: Αποκαλύπτοντας τον χαμένο κώδικα του Αρχιμήδη.
  2. The Digital Walters - Non-Walters Books
  3. The Digital Archimedes Palimpsest
  4. Ευάγγελος Σταμάτης - Βιβλία-Εκδόσεις
  5. Stomachion
  6. Μιχάλης Λάμπρου, Το παλίμψηστο του Αρχιμήδη

Τετάρτη, 29 Αυγούστου 2012

Το πρώτο απλό, συμμετρικό Venn διάγγραμμα 11 συνόλων

Τα Venn διαγράμματα είναι λίγο-πολύ γνωστά και αποτελούν έναν απλό τρόπο παράστασης των συνολοθεωρητικών σχέσεων (τομή, ένωση, υποσύνολο κλπ).

Υπάρχουν όμως συμβάσεις στην παράσταση αυτή που τις αποσιωπούμε. Για παράδειγμα, το να παραστήσεις την τομή δύο συνόλων, ο αποδεκτός τρόπος να το κάνεις είναι ο παρακάτω, όπου η τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα συνεκτικό (ενιαίο) σχήμα.
 
Ενώ αντίθετα, το επόμενο δεν είναι αποδεκτό, ακριβώς γιατί εμφανίζεται "κομματιασμένη" η τομή. Ως εκ τούτου, το πρώτο διάγραμμα, χαρακτηρίζεται ως απλό.
Πέρα από αυτό, σε ένα γενικό διάγραμμα Venn επιθυμούμε μια "πληρότητα" που σημαίνει ότι με "μια ματιά" εντοπίζουμε όλες τις δυνατές τομές. Παρατηρήστε για παράδειγμα, ότι στο επόμενο Venn διάγραμμα τριών συνόλων φαίνονται οι τομές των Α και Β (πράσινη), των Α και C (πράσινη), των Β και C (πράσινη) και των τριών συνόλων (γαλάζια):
Το εντυπωσιακό και στα δύο απλά διαγράμματα Venn είναι ότι υπάρχει μια συμμετρία στο σχήμα (κεντρική συμμετρία).

Τέθηκε λοιπόν το ερώτημα: Θα μπορούσαμε να έχουμε απλά διαγράμματα Venn (που να εμφανίζονται όλες οι δυνατές τομές ως συνεκτικά σχήματα) που να είναι (κεντρικά) συμμετρικά και να αποτελούνται από περισσότερα από τρία σύνολα;

Δευτέρα, 27 Αυγούστου 2012

MiGen Project και DragonBox: Κάτι παραπάνω για την Άλγεβρα

Κάθε εκπαιδευτικός θα έχει αναρωτηθεί τα εξής:
  1. Τι είναι η Άλγεβρα;
  2. Ποιος είναι ο καλύτερος τρόπος για να μάθει κάποιος Άλγεβρα;
  3. Υπάρχουν λογισμικά ή άλλες δραστηριότητες που θα μπορούσαν να βοηθήσουν στην εκμάθηση της Άλγεβρας; Και τι είδους;
Λίγο-πολύ, οι "εύκολες" απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα είναι:
  1. Η Άλγεβρα είναι η επιστήμη που ασχολείται με τις δομές. Στο Δημοτικό και στο Γυμνάσιο αυτό μεταφράζεται στο ότι "γνωρίζω να κάνω πράξεις με κλάσματα, δεκαδικούς, δυνάμεις και τετραγωνικές ρίζες".
  2. Μαθαίνουμε Άλγεβρα κατανοώντας τις δομές, το οποίο συμβαίνει (κατά έναν περίεργο τρόπο) με την επίλυση μεγάλου αριθμού ασκήσεων (στο χαρτί κυρίως).
  3. Αυτό θα το αναλύσουμε περισσότερο: Θα παρατηρήσουμε μια στροφή από τα Computer Algebra Systems (CMS) προς το "Αλγεβρικό Παιχνίδι". 
Και για να σας κεντρίσω το ενδιαφέρον, δείτε αυτήν την εικόνα και σκεφτείτε: θα μπορούσε να αποτελέσει αφορμή για την διδασκαλία της Άλγεβρας;

Σάββατο, 23 Ιουνίου 2012

Ο επίκαιρος Άλαν Τιούρινγκ

Το έτος 2012 έχει ανακυρηχθεί ως έτος Άλαν Τιούρινγκ (Alan Turing), υπενθυμίζοντάς μας πως έχουν περάσει ακριβώς εκατό χρόνια από την γέννηση του μεγάλου Μαθηματικού, στις 23 Ιουνίου 1912.
Σε δύσκολους καιρούς, γεφύρωσε την επιστήμη των Μαθηματικών με την αναπτυσσόμενη Τεχνολογία, για να δώσει λύσεις σε καίρια προβλήματα της εποχής του, όπως ήταν η αποκωδικοποίηση της Γερμανικής μηχανής Enigma.
Όμως, ο Άλαν Τιούρινγκ πραγματικά προκάλεσε τον επιστημονικό κόσμο με το άρθρο του "Υπολογιστικές Μηχανές και Ευφυΐα" (Computing Matchinery and Intelligence): Θα μπορούσε να υπάρξει μηχανή που να "σκέφτεται"; Εκεί, αναπτύσσει τις αρχές λειτουργίας μιας υποθετικής μηχανής που προγραμματίζεται αλγοριθμικά να διαβάζει μια σειρά από 0 και 1 και στη συνέχεια την τροποποιεί, ανάλογα με τις εντολές που έχει λάβει. Πρόκειται για την γνωστή "μηχανή Άλαν Τιούρινγκ" (Alan Turing machine), τα θεμέλια των σημερινών Υπολογιστών.


Ο προγραμματισμός αυτής της μηχανής είναι μια ενδιαφέρουσα άσκηση μαθηματικών και συμβολικής γλώσσας, μια δεξιότητα που θα επιθυμούσα να κατακτήσουν οι μαθητές μου. Γι' αυτό και τους ετοίμασα μια δραστηριότητα, με την οποία μπορούν να προγραμματίσουν το Automaton Simulator (κατεβάστε το δωρεάν).

Πηγές:

1. Alan Turing, του Andrew Hodges
2. Atomaton Simulator
3. Turing, A.M. (1950). Computing machinery and inteligence. Mind, 59, 433-460
4. Η μηχανή Turing - δραστηριότητα εξοικείωσης

Τρίτη, 22 Μαΐου 2012

Η φύση σε αριθμούς

Ένα υπέροχο βιντεάκι για τα Μαθηματικά στη φύση του Cristóbal Vila με μουσική του Wim Mertens, "Often a bird" από το άλμπουμ "Jardin Clos", 1996.
Αριθμοί Fibonacci που οδηγούν στον λόγο χρυσής τομής, λογαριθμικές σπείρες στον ναυτίλο και το ηλιοτρόπιο, διαγράμματα Voronoi στα φτερά της λιβελούλας, πλακοστρώσεις με εξαγωνικά κελιά...
Πηγή: Eterea Studios, Nature by Numbers

Κυριακή, 22 Απριλίου 2012

Ο υπερβολικός κάκτος του καφέ

Δείτε προσεκτικά το ωραίο διακοσμητικό που κρέμεται στο ταβάνι της καφετέριας.
Τι είναι; Ίσως ένα πιο κοντινό πλάνο...
Και ακόμα πιο κοντινό, για να δείτε τον τρόπο κατασκευής:

Τετάρτη, 18 Απριλίου 2012

"Καλή Ανάσταση" από την Σούλα με ευκλείδεια αυγά

Η φίλη και συνάδελφος Σούλα Σούφαρη μου έστειλε μια καταπληκτική κάρτα για τις φετινές Πασχαλινές ευχές της:
Αισθητικά πανέμορφη και μαθηματικά προκλητική! Γιατί το σχήμα του αυγού έχει σχεδιαστεί με έναν απίστευτα έξυπνο τρόπο. Διαβάστε το σχετικό άρθρο στην ιστοσελίδα του Εργαστηρίου Μαθηματικών:
http://mathlab.mysch.gr/filoi/egg.html

Δευτέρα, 16 Απριλίου 2012

Παρασκευή και 13

Φέτος η Μεγάλη Παρασκευή ήταν στις 13 Απριλίου. Δεν ξέρω πόσοι πρόσεξαν την "αποφράδα μέρα", εγώ όμως την πρόσεξα, καθώς αποτελεί ένα από τα αγαπημένα μου θέματα. Όχι το ότι η "Παρασκευή και 13" είναι αποφράδα μέρα - δεν τα πιστεύω αυτά - αλλά το πόσο συχνά αυτή εμφανίζεται στον ημερολογιακό κύκλο.

Τι είναι όμως ο ημερολογιακός κύκλος; Ως γνωστό, η 13 Απριλίου από χρόνο σε χρόνο αλλάζει ημέρα, δεν είναι πάντα Παρασκευή. Όμως, αν δούμε τις ημερομηνίες και τις αντίστοιχες μέρες τους σε διάστημα 400 ετών (τόσος είναι ο ημερολογιακός κύκλος) θα διαπιστώσουμε ότι αυτές επαναλαμβάνονται αυτούσιες και την επόμενη 400-ετία και την μεθεπόμενη κ.ο.κ. Έτσι, στις 13 Απριλίου 2412 θα είναι πάλι ημέρα Παρασκευή, όπως άλλωστε ήταν και στις 13 Απριλίου 1612.

Η περίοδος των 400 ετών οφείλεται σε δύο λόγους: Πρώτον στο ότι η εβδομάδα έχει 7 μέρες και δεύτερον στο ότι ορισμένα έτη από τα 400 είναι "δίσεκτα" έχουν δηλαδή 366 μέρες αντί για 365, όπως το δίσεκτο έτος 2012. Παρένθεση: τα δίσεκτα δεν είναι τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4, αλλά τα έτη που είναι πολλαπλάσια του 4 και δεν είναι πολλαπλάσια του 100. Από αυτά εξαιρούνται τα πολλαπλάσια του 400 που πάλι είναι δίσεκτα. Δηλαδή το 2000 ήταν δίσεκτο, όμως τα 2100, 2200 και 2300 δεν θα είναι δίσεκτα.

Ας έρθουμε τώρα στην ημέρα της Παρασκευής και 13. Αν στο διάστημα των 400 ετών συγκεντρώσουμε όλες τις "13 του μήνα", συνολικά 400*12=4800 μέρες και δούμε ποιες είναι σε κάθε ημέρα της εβδομάδας, θα διαπιστώσουμε το ακόλουθο:

Το μπλουζάκι του Περικλή

Ο συνάδελφος Περικλής, καθηγητής Πληροφορικής, έχει πολύ ενδιαφέροντα μπλουζάκια από μαθηματική άποψη, το καθένα και ένα ωραίο πρόβλημα.
Εκείνο το πρωινό, στάθηκα αρκετή ώρα μπροστά του, προσπαθώντας να αποκωδικοποιήσω το δέντρο με τους αριθμούς. Στην βάση ήταν η μονάδα και μετά το 2, το 4, το 8, το 16,... Υπέθεσα ότι οι αριθμοί διπλασιάζονταν. Όμως το 5 μετά το 16 μου "χαλούσε" αυτόν τον υπέροχο κανόνα. Το ίδιο συνέβαινε και μετά: ενώ ακολουθούσαν μερικά βήματα διπλασιασμού, ξαφνικά, "πέφταμε" σε μικρότερο αριθμό: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 53...

Δεν μπορούσα να εντοπίσω κάποια σχέση. Του ζήτησα να κάνει μεταβολή να δω και την πίσω όψη της μπλούζας. Εκεί υπήρχε ένας κανόνας, που ο Περικλής ψιθύρισε πως ήταν το "σκονάκι" της γριφώδους μπλούζας του: Αν ο Ν είναι άρτιος, τότε Ν=Ν/2. Αν ο Ν είναι περιττός, τότε Ν=3Ν+1.

Τότε μόνο κατάλαβα ότι διάβαζα "ανάποδα" το δέντρο. Δεν έπρεπε να ξεκινώ από την ρίζα του, αλλά από τις πάνω άκρες των κλώνων του, που κάθεμιά φιλοξενούσε και έναν τυχαίο φυσικό αριθμό. Αν ο αριθμός ήταν άρτιος, ο αμέσως πιο κάτω ήταν το μισό του, ενώ αν ήταν περιττός, ο αμέσως πιο κάτω ήταν ο τριπλάσιός του αυξημένος κατά μια μονάδα. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργείται μια ακολουθία αριθμών, ο κλώνος ολόκληρος.
Αλλά δεν θα είχαμε το μπλουζάκι, ούτε εγώ θα έγραφα την ανάρτηση, αν το 1937 ο Lothar Collatz δεν διατύπωνε την εικασία (εικασία Collatz) ότι με την διαδικασία αυτή, ανεξάρτητα από ποιον φυσικό αριθμό Ν ξεκινάμε, καταλήγουμε πάντα στην μονάδα, την ρίζα του δέντρου!

Πέμπτη, 26 Ιανουαρίου 2012

Το GeoGebra 4.0 ενσωματώνεται με ευκολία



Η διαδικασία ενσωμάτωσης του GeoGebra 4.0 σε ιστοσελίδες έχει γίνει πολύ απλή:
  • Μόλις ολοκληρώσετε την κατασκευή σας επιλέξτε "Αρχείο > Εξαγωγή > Δυναμικό Φύλλο εργασίας ως ιστοσελίδα (html)"
  • Επιλέξτε το "Εξαγωγή ως Ιστοσελίδα" και την καρτέλα "Προχωρημένες"
  • Τσεκάρετε το κουτάκι "Αφαίρεση Αλλαγών Γραμμής" και από το αναπτυσσόμενο μενού κάτω δεξιά επιλέξτε "Μνήμη: Moodle" και κάντε κλικ στο "Μνήμη" που εμφανίζεται
  • Στη συνέχεια, δημιουργήστε μια ανάρτηση στον Blogger και στην καρτέλα "Επεξεργασία HTML" με Ctrl+V αντιγράψτε τον κώδικα. Δημοσιεύστε και τελειώσατε!
Εντυπωσιακό το γεγονός ότι δεν ανεβάζετε πουθενά κάποιο αρχείο ggb.

Σχολιάζοντας το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που δημοσιεύσαμε, ας πούμε μόνο, ότι τελικά, ίσως πρέπει να κοπεί το παραλληλόγραμμο σε πάρα πολλά κομμάτια για να δημιουργηθεί με την αναδιάταξή τους ένα ορθογώνιο με την ίδια βάση (που μπορεί να είναι η μικρότερη πλευρά του παραλληλογράμμου).