Τετάρτη, 29 Αυγούστου 2012

Το πρώτο απλό, συμμετρικό Venn διάγγραμμα 11 συνόλων

Τα Venn διαγράμματα είναι λίγο-πολύ γνωστά και αποτελούν έναν απλό τρόπο παράστασης των συνολοθεωρητικών σχέσεων (τομή, ένωση, υποσύνολο κλπ).

Υπάρχουν όμως συμβάσεις στην παράσταση αυτή που τις αποσιωπούμε. Για παράδειγμα, το να παραστήσεις την τομή δύο συνόλων, ο αποδεκτός τρόπος να το κάνεις είναι ο παρακάτω, όπου η τομή των συνόλων Α και Β είναι ένα συνεκτικό (ενιαίο) σχήμα.
 
Ενώ αντίθετα, το επόμενο δεν είναι αποδεκτό, ακριβώς γιατί εμφανίζεται "κομματιασμένη" η τομή. Ως εκ τούτου, το πρώτο διάγραμμα, χαρακτηρίζεται ως απλό.
Πέρα από αυτό, σε ένα γενικό διάγραμμα Venn επιθυμούμε μια "πληρότητα" που σημαίνει ότι με "μια ματιά" εντοπίζουμε όλες τις δυνατές τομές. Παρατηρήστε για παράδειγμα, ότι στο επόμενο Venn διάγραμμα τριών συνόλων φαίνονται οι τομές των Α και Β (πράσινη), των Α και C (πράσινη), των Β και C (πράσινη) και των τριών συνόλων (γαλάζια):
Το εντυπωσιακό και στα δύο απλά διαγράμματα Venn είναι ότι υπάρχει μια συμμετρία στο σχήμα (κεντρική συμμετρία).

Τέθηκε λοιπόν το ερώτημα: Θα μπορούσαμε να έχουμε απλά διαγράμματα Venn (που να εμφανίζονται όλες οι δυνατές τομές ως συνεκτικά σχήματα) που να είναι (κεντρικά) συμμετρικά και να αποτελούνται από περισσότερα από τρία σύνολα;

 Η απάντηση για 4 σύνολα είναι αρνητική. Τα απλά διαγράμματα Venn με 4 σύνολα δεν είναι (κεντρικά) συμμετρικά, όπως φαίνεται και στο επόμενο σχήμα (τα σύνολα Α, Β, C και D εμφανίζονται τώρα ως ελλείψεις):
Γενικώς, οι επιστήμονες απέδειξαν, ότι συμμετρικά, απλά διαγράμματα Venn μπορούν να υπάρξουν μονάχα όταν το πλήθος των συνόλων είναι πρώτος αριθμός, κάτι που εξηγεί γιατί για 4 σύνολα δεν έχουμε συμμετρία, ενώ για 2 και 3 έχουμε.

Η παράσταση τετοιων διαγραμμάτων για πέντε ή περισσότερα σύνολα, εξελίχθηκε σε ένα δύσκολο εγχείρημα γεωμετρίας, συνδυαστικής, αλγορίθμων. Νωρίς έγινε αντιληπτό ότι πλέον τα σύνολα δεν θα μπορούσαν να έχουν σχήμα ελλειπτικό ή κυκλικό. Θα έπρεπε να είναι αρκετά πιο πολύπλοκα, όπως απεικονίζονται στο επόμενο συμμετρικό διάγγραμμα Venn 7 συνόλων (το οποίο δεν είναι το μοναδικό):
Πρόσφατα όμως, στις 27 Ιουλίου του 2012, οι ερευνητές Khalegh Mamakani και Frank Ruskey του Τμήματος Επιστήμης Υπολογιστών του Πανεπιστημίου της Βικτώριας Καναδά, δημοσίευσαν την εργασία τους σχετικά με την δημιουργία ενός απλού, συμμετρικού διαγράμματος Venn 11 συνόλων. Το ενδιαφέρον είναι ότι όχι μόνο κατέληξαν σε μια πολύ ενδιαφέρουσα απεικόνιση (το παρακάτω σχήμα), αλλά και ότι ανέπτυξαν μια ενδιαφέρουσα μέθοδο για να εντοπίσουν το σχήμα του κάθε συνόλου (με λευκό χρώμα το περίγραμμα του ενός συνόλου).

Πηγές

Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στο σχετικό σάιτ
The First Simple Symmetric 11 -Venn Diagram